Question

根据函数极限的定义证明是什么？

Answer 1

证题的步骤基本为： 

任意给定ε>0，要使|f(x)-A|0，使当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|0，要使|lnx-1|0,都能找到δ>0，使当0<|x-e|<δ时，有|f(x)-1|<ε 。

即当x趋近于e时，函数f(x）有极限1 说明一下：1）取0<|x-e|，是不需要考虑点x=e时的函数值，它可以存在也可不存在，可为A也可不为A。 2）用ε-δ语言证明函数的极限较难，通常对综合大学数学等少数专业才要求。

函数极限例子

lim(sinⅹ/ⅹ)=1(ⅹ→0)

证明:以1为半径，ⅹ为角度，画扇形OAB，O为圆心，A、B为弧长端点。过A作垂线AD垂直OB，作B点切线，延长OA与过B的切线相交与E。

ⅹ∈(0，π/2)，AD=sinⅹ，BE=tanⅹ，OAB面积=ⅹ/2。

OAD面积=sinⅹ/2

OBE面积=tanⅹ/2

OAD<OAB<OBE→

sinⅹ/2<ⅹ/2<tanⅹ/2→

sinⅹ<ⅹ<tanⅹ→

1/sinⅹ>1/ⅹ>cosⅹ/sinⅹ，同乘以

sinⅹ→1>sinⅹ/ⅹ>cosⅹ，ⅹ→0⁺，cosⅹ→1，由三明治定理→lim(sinⅹ/ⅹ)=1。

当ⅹ→0⁻，令t=-ⅹ，t→0⁺，

sin(-t)/(-t)=-sint/(-t)=sint/t→

(-t→0⁻)limsin(-t)/(-t)=(t→0⁺)limsint/t

limcosⅹ=1(ⅹ→0)

(ⅹ→0)limtanⅹ/ⅹ=

(sinⅹ/cosⅹ)/ⅹ=

(sinⅹ/ⅹ)(1/cosⅹ)=1

当ⅹ很小的时候，sinⅹ、tanⅹ与ⅹ很接近。

(ⅹ→0)lim(1-cos²ⅹ)/ⅹ²=

sin²ⅹ/ⅹ²=(sinⅹ/ⅹ)²=1

(ⅹ→0)lim(1-cosx)/ⅹ=

((1-cosx)/ⅹ)((1+cosⅹ)/(1+cosⅹ))

=(sin²ⅹ/ⅹ)(1/(1+cosⅹ))=

sinⅹ(sinⅹ/ⅹ)(1/(1+cosⅹ))=

0*1*(1/(1+1))=0。

(ⅹ→∞)limsinⅹ/ⅹ=0

(ⅹ→∞)limcosⅹ/ⅹ=0

ⅹ→∞，ⅹ的多项式有正余弦，不影响多项式的次幂。

Answer 2

函数极限的定义证明：
任意给定ε>0，要使|f(x)-A|0，使当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|0，要使|lnx-1|0,都能找到δ>0，使当0<|x-e|<δ时，有|f(x)-1|<ε。即当x趋近于e时，函数f(x）。