Question

实数集A下无界,上无界和无界的定义是什么?

Answer 1

实数集A下无界意思就是实数集A没有下界，上无界就算没有上界，无界就是没有上界也没有下界。

无界集(unbounded set)即非有界集，若E⊆Rn，则E无界意味着对任意M>0，存在x∈E，使得|x|>M。

或者说，E的直径为+∞，对实数集E来说，E无界还意味着E没有上界或没有下界，若E⊂R没有上界(下界)，即sup E=+∞(inf E=-∞)，则存在E中不同的点组成的点列{an}，使an→+∞(-∞)。

反之也成立。有穷集必是有界集，因此，无界集必是无穷集。

一般地，称点集E内两点问最大距离为该点集的直径。若点集E的直径是有限值，称E为有界点集，否则称为无界点集。

注释：

(1)闭区域虽然包含有边界，但它也有可能是无界的；开区域是不含有边界的，但它也可能为有界域。

(2)开区域一定是开集，闭区域一定是闭集，而开集未必是开区域，闭集未必是闭区域。