Question

无穷大和无穷大加一哪个大?

Answer 1

无穷大和无穷大加一是无法比较大小的。

各种无穷不能比大小，因为无穷大和无穷小其实是一种状态，不是一个具体的数字，所以在坐标轴上并没有对应的点，也就没有前后序列关系。康托的那种比大小的方法不是比数值大小，他用了一个名字：势。

事实上，(0,1)上的实数可以和正整数的所有子集的集合一一对应：把这些实数写成二进制，小数点后第n位为1，对应于n在子集中；为0则对应不在子集中。这样[0,1)上的实数就和正整数的子集有了一一对应，因此实数和正整数集的所有子集的个数一样多。

也可以证明前面所说曲线可以和实数集的幂集有一一对应关系。我们把前面说的所有曲线看成一个集合，他的所有子集的个数又将比这个集合大。这个过程可以一直进行下去，得到越来越大的无穷大。

另外还有一个问题，即连续统假设：整数的无穷大和实数的无穷大之间存不存在别的无穷大。也就是说，是否存在比整数基数大，而比实数基数小的无穷基数。

数学家证明了这样一个事实：连续统假设无法在ZFC集合论公理下被证明或证伪，换而言之，承认连续统假设将导出一个体系；不承认将导出另外一种体系。连续统假设或其否定均可作为额外的公理。