Question

An的前n项和为Sn，2Sn=An²+An，求An的通项公式

Answer 1

解：
n=1时，2S1=2a1=a1²+a1
a1(a1-1)=0
a1=0(an>0，舍去)或a1=1
n≥2时，
2Sn=an²+an
2S(n-1)=a(n-1)²+a(n-1)
2Sn-2S(n-1)=2an=an²+an-a(n-1)²-a(n-1)
an²-a(n-1)²-an-a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
an>0，an+a(n-1)>0，要等式成立，只有an-a(n-1)=1，为定值。
数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列。
an=1+n-1=n
n=1时，a1=1，同样满足。
因此：数列{an}的通项公式为：
an=n

Answer 2

n=1时，
2s1=2a1=2a1²+a1-1，整理，得
2a1²-a1-1=0
(2a1+1)(a1-1)=0
a1=-1/2(<0，舍去)或a1=1
n≥2时，
2sn=2an²+an
-1
2s(n-1)=2a(n-1)²+a(n-1)-1
2sn-2s(n-1)=2an=2an²+an
-1-2a(n-1)²-a(n-1)+1
两式相减，整理，得
2an²-an-2a(n-1)²-a(n-1)=0
2[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][2an-2a(n-1)-1]=0
数列各项均为正，an+a(n-1)恒>0，要等式成立，只有2an
-2a(n-1)-1=0
an-a(n-1)=1/2，为定值。
数列{an}是以1为首项，1/2为公差的等差数列。
an=1+(n-1)/2=(n+1)/2
n=1时，a1=(1+1)/2=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=(n+1)/2。