Question

求一数学题目，题目在下面的图片里，急！（一、二题我写了，只求第三题。）

Answer 1

原式=(1+x)+x(x+1)+x(x+1)²+.... + x(x+1)^n
=(x+1)[1+x+x(x+1)+...+x(x+1)^(n-1)]
=(x+1)²[1+x+x(x+1)+...+x(x+1)^(n-2)]
......
=(x+1)^(n+1)

Answer 2

方法一，提取公因式法，
1+x+ⅹ(1+ⅹ)+x(1+ⅹ)²+ⅹ(1+ⅹ)³+···+x(1+ⅹ)^n
=(1+ⅹ)+X(1十x)+x(1十x)²十X(1+x)³+···+ⅹ(1+X)^n
=(1+x)[1+x+x(1+X)+X(1十ⅹ)²+X(1+X)³+···+X(1十x)^(n-1)]
=(1+x)[(1+X)+X(1+ⅹ)+X(1+ⅹ)²+x(1+X)^(n-1)]
=(1+X)²[1+X十X(1+X)十ⅹ(1十X)²+···+X(1+X)^(n-2)]
······
=(1+X)^(n-1)[1+X+X(1+X)]
=(1十X)^n(1+Ⅹ)
=(1+X)^(n+1)。
方法二，等比数列求和，
Sn=X十X(1十X)十X(1十X)²+···+X(1+x)^n，
是首项为x，公比为(1+x)的等比数求和，
∴Sn=Ⅹ[1-(1+X)^(n+1)]/[1-(1+X)]
=X[1-(1+X)^(n+1)]/(-X)
=-1+(1+X)^(n+1)，
原式=1-1+(1十X)^(n+1)
=(1+X)^(n+1)。

Answer 3

方法一，提取公因式法，
1+x+ⅹ(1+ⅹ)+x(1+ⅹ)²+ⅹ(1+ⅹ)³+···+x(1+ⅹ)^n
=(1+ⅹ)+X(1十x)+x(1十x)²十X(1+x)³+···+ⅹ(1+X)^n
=(1+x)[1+x+x(1+X)+X(1十ⅹ)²+X(1+X)³+···+X(1十x)^(n-1)]
=(1+x)[(1+X)+X(1+ⅹ)+X(1+ⅹ)²+x(1+X)^(n-1)]
=(1+X)²[1+X十X(1+X)十ⅹ(1十X)²+···+X(1+X)^(n-2)]
······
=(1+X)^(n-1)[1+X+X(1+X)]
=(1十X)^n(1+Ⅹ)
=(1+X)^(n+1)。
方法二，等比数列求和，
Sn=X十X(1十X)十X(1十X)²+···+X(1+x)^n，
是首项为x，公比为(1+x)的等比数求和，
∴Sn=Ⅹ[1-(1+X)^(n+1)]/[1-(1+X)]
=X[1-(1+X)^(n+1)]/(-X)
=-1+(1+X)^(n+1)，
原式=1-1+(1十X)^(n+1)
=(1+X)^(n+1)。