Question

证明函数y=x²/1+x²的是有界函数

Answer 1

有界性定义：
设函数f(x)的定义域为d，数集x⊆d如果存在数k1使得
f(x)≤k1
对任意x∈x都成立则称函数f(x)在x上有上界。而k1称为函数f(x)在x上的一个上界。
此外，如果存在数字k2使得
f(x)≥k2对任意x∈x都成立，则称函数f(x)在x上有下界，而k2称为函数f(x)在x上的一个下界。
就是要证明：
y=x²/1+x²有上下界，即证明y有最大值和最小值，容易看出0
只要证明上面两边就可以了。（以上是分析）
x²>1+x²,
所以x²/1+x²x²>=0;
1+x²>=0;所以0所以有界。（写的不具体，你自己补充一下吧，我要下班了^_^）

Answer 2

y=x²/(1+x²)=[(x²+1)-1]/(x²+1)=1-1/(x²+1)
∵x²+1≥1
∴0<1/(x²+1)≤1
∴0≤1-1/(x²+1)<1
即0≤y<1
∴函数是有界函数，上界为1，下界为0