Question

求单调区间和极值，凹凸区间和拐点

Answer 1

如何求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点？可以按下列三步骤分析：

第一步，求函数的一阶导数，判断函数的单调性，如在（a,b）内的任意一点，有f'(x)>0，则单调上升；如在（a,b）内的任意一点，有f'(x)<0，则单调上降

第二步，当f'(x)=0有解，则该解为函数的极值点，最大值点（-1，3），最小值点（3，-61）

第三步，求函数的二阶导数，判断函数的凹凸性，，如在（a,b）内的任意一点，有f"(x)>0，则f(x)在【a,b】内是凹的；如在（a,b）内的任意一点，有f"(x)<0，则f(x)在【a,b】内是凸的。

拐点（1，29）

求解过程如下：

Answer 2

解：题目中所给出的函数，在（-∞，+∞）内连续。

（1）f'（x）=6x²-12x-18=6×（x²-2x-3）=6×（x+1）×（x-3）。

f'（x）=0，x1=-1，x2=3。函数在（-∞，+∞）内处处可导，不存在不可导点。

两个根将定义域划分为3个区间：

在（-∞，-1）区间内，x+1<0，x-3<0，f'（x）>0，函数单调递增；

在（-1，3）区间内，x+1>0，x-3<0，f'（x）<0，函数单调递减；

在（3，+∞）区间内，x+1>0，x-3>0，f'（x）>0，函数单调递增。

所以，x1=-1为函数的一个极大值点：f（-1）=2×（-1）³-6×（-1）²-18×（-1）-7=3；

x2=3为函数的一个极小值点：f（3）=2×3³-6×3²-18×3-7=-61。

（2）f"（x）=12x-12=0，x=1。

x<1时，f"（x）<0，因此在区间（-∞，1）函数图像为凸弧；

x>1，f"（x）>0，因此在区间（1，+∞）函数图像为凹弧。

x=1左右两侧的二次导数值改变了符号，所以：f（1）=2×1³-6×1²-18×1-7=-29。

（1，-29）为该函数曲线的拐点。

Answer 3

f(x) = 2x^3-6x^2-18x-7，f'(x) = 6x^2-12x-18 = 6(x+1)(x-3)
得驻点 x = -1， 3。
f''(x) = 12x-12， 令 f'' = 0, 得 x = 1
f''(-1) = -24 < 0, x = -1 是极大值点， 极大值 f(-1) = 3；
f''(3) = 24 > 0, x = 3 是极小值点， 极小值 f(3) = -61。
单调增加区间是 (-∞, -1), (3, +∞), 单调减少区间是 (-1, 3).
凸区间 (-∞, 1), 凹区间 (1, +∞)， 拐点 (1, -29).

Answer 4

f(x)=2x^3-6x^2-18x-7
f'(x) =6x^2-12x-18
f'(x)=0
6x^2-12x-18=0
x^2-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x=3 or -1
f''(x) = 12x-12
f''(3) =36-12=24>0 (min)
f''(-1) =-12-12=-24<0 (max)
min f(x) = f(3)=2(3)^3-6(3)^2-18(3)-7 =-61
max f(x) = f(-1) =2(-1)^3-6(-1)^2-18(-1)-7 =3

f''(x) >0
12x-12 >0
x>1
凹区间为 (1,+无穷)；凸区间为 (-无穷, 1)
没有拐点