求单调区间和极值,凹凸区间和拐点 60
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2021-12-09 · 知道合伙人教育行家
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(1)f'(x)=6x²-12x-18=6×(x²-2x-3)=6×(x+1)×(x-3)。
f'(x)=0,x1=-1,x2=3。函数在(-∞,+∞)内处处可导,不存在不可导点。
两个根将定义域划分为3个区间:
在(-∞,-1)区间内,x+1<0,x-3<0,f'(x)>0,函数单调递增;
在(-1,3)区间内,x+1>0,x-3<0,f'(x)<0,函数单调递减;
在(3,+∞)区间内,x+1>0,x-3>0,f'(x)>0,函数单调递增。
所以,x1=-1为函数的一个极大值点:f(-1)=2×(-1)³-6×(-1)²-18×(-1)-7=3;
x2=3为函数的一个极小值点:f(3)=2×3³-6×3²-18×3-7=-61。
(2)f"(x)=12x-12=0,x=1。
x<1时,f"(x)<0,因此在区间(-∞,1)函数图像为凸弧;
x>1,f"(x)>0,因此在区间(1,+∞)函数图像为凹弧。
x=1左右两侧的二次导数值改变了符号,所以:f(1)=2×1³-6×1²-18×1-7=-29。
(1,-29)为该函数曲线的拐点。
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f(x) = 2x^3-6x^2-18x-7,f'(x) = 6x^2-12x-18 = 6(x+1)(x-3)
得驻点 x = -1, 3。
f''(x) = 12x-12, 令 f'' = 0, 得 x = 1
f''(-1) = -24 < 0, x = -1 是极大值点, 极大值 f(-1) = 3;
f''(3) = 24 > 0, x = 3 是极小值点, 极小值 f(3) = -61。
单调增加区间是 (-∞, -1), (3, +∞), 单调减少区间是 (-1, 3).
凸区间 (-∞, 1), 凹区间 (1, +∞), 拐点 (1, -29).
得驻点 x = -1, 3。
f''(x) = 12x-12, 令 f'' = 0, 得 x = 1
f''(-1) = -24 < 0, x = -1 是极大值点, 极大值 f(-1) = 3;
f''(3) = 24 > 0, x = 3 是极小值点, 极小值 f(3) = -61。
单调增加区间是 (-∞, -1), (3, +∞), 单调减少区间是 (-1, 3).
凸区间 (-∞, 1), 凹区间 (1, +∞), 拐点 (1, -29).
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f(x)=2x^3-6x^2-18x-7
f'(x) =6x^2-12x-18
f'(x)=0
6x^2-12x-18=0
x^2-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x=3 or -1
f''(x) = 12x-12
f''(3) =36-12=24>0 (min)
f''(-1) =-12-12=-24<0 (max)
min f(x) = f(3)=2(3)^3-6(3)^2-18(3)-7 =-61
max f(x) = f(-1) =2(-1)^3-6(-1)^2-18(-1)-7 =3
f''(x) >0
12x-12 >0
x>1
凹区间为 (1,+无穷);凸区间为 (-无穷, 1)
没有拐点
f'(x) =6x^2-12x-18
f'(x)=0
6x^2-12x-18=0
x^2-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x=3 or -1
f''(x) = 12x-12
f''(3) =36-12=24>0 (min)
f''(-1) =-12-12=-24<0 (max)
min f(x) = f(3)=2(3)^3-6(3)^2-18(3)-7 =-61
max f(x) = f(-1) =2(-1)^3-6(-1)^2-18(-1)-7 =3
f''(x) >0
12x-12 >0
x>1
凹区间为 (1,+无穷);凸区间为 (-无穷, 1)
没有拐点
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