Question

高数证明题求解

如题

Answer 1

证明：
令g(x)＝t1f(x1)+t2f(x2)-(t1+t2)f(x)，由于f(x)连续，所以g(x)也连续，则有
g(x1)＝t1f(x1)+t2f(x2)-(t1+t2)f(x1)
＝t2[f(x2)-f(x1)]
g(x2)＝t1f(x1)+t2f(x2)-(t1+t2)f(x2)
＝t1[f(x1)-f(x2)]
由于t1>0，t2>0，所以显然g(x1)与g(x2)异号，则根据零点定理可知，存在一点ξ∈(a，b)，使得g(ξ)＝0，即
t1f(x1)+t2f(x2)-(t1+t2)f(ξ)＝0
，即，存在c∈(a，b)，使得
t1f(x1)+t2f(x2)＝(t1+t2)f(c)得证

追问

谢谢你的解答。我还有个小疑问，是否还要讨论下g(x1)=g(x2)=0的情况呢？