Question

为什么直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

Answer 1

直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。
【证法1】
延长AD到E，使DE=AD，连接CE。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD，
又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），
 
 
AD=DE，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴AB=CE，∠B=∠DCE，
∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，
∴△ABC≌△CEA（SAS）
∴BC=AE，
∵AD=DE=1/2AE，
∴AD=1/2BC。
【证法2】
取AC的中点E，连接DE。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD=1/2BC，
∵E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）
∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）
∴DE垂直平分AC，
∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
【证法3】
延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD，
又∵AD=DE，
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵∠BAC=90°，
∴四边形ABEC是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形），
∴AE=BC（矩形对角线相等），
∵AD=DE=1/2AE，
∴AD=1/2BC。