Question

复合函数的举例

Answer 1

复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量。

生成条件

不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ＝φ（x)的值域Zφ和y=f(μ）的定义域Df的交集不为空集时，二者才可以构成一个复合函数。

例如：

定义域类型

若函数y=f(u)的定义域是B,函数u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B}

周期性类型

设y=f(u),的最小正周期为T1,μ＝φ（x）的最小正周期为T2,则y=f(μ）的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2（k属于R+）

增减性类型

复合函数单调性依y=f(x),μ＝φ（x)的增减性决定．即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”。

判断复合函数的单调性的步骤如下：

(1)求复合函数定义域；

(2)将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；

(3)判断每个常见函数的单调性；

(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；

(5)求出复合函数的单调性。

例如：讨论函数y=0.8^(x^2-4x+3)的单调性。

复合函数的导数函数定义域为R。

令u=x2-4x+3,y=0.8^u，指数函数y=0.8^u在（-∞，+∞）上是减函数，u=x2-4x+3在（-∞，2]上是减函数，在［2,+∞）上是增函数。

∴函数y=0.8^(x2-4x+3)在（-∞，2]上是增函数，在［2,+∞）上是减函数．利用复合函数求参数取值范围求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须将已知的所有条件加以转化。