线性代数-矩阵

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2022-06-22 · TA获得超过6198个赞
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【义】2.1 由m×n个数aij ( i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n) 排成的m行n列的数表,称为m行n列矩阵 , 简称m×n矩阵

矩阵加法满足下列运算规律

【义】2.6 设有矩阵A=( aij ) m×k 和B=( bij ) k×n , 那么规定矩阵A与B的乘积 是一个m×n矩阵C=( cij ) m×n , 记作C=AB

矩阵乘法虽然不满足交换律和消去律, 但是满足以下规律

【义】2.11 对于n阶方阵A, 若有一个n阶方阵B, 使得AB=BA=E. 则称矩阵A是可逆 的, 矩阵B为A的逆矩阵, 简称逆阵

矩阵的逆矩阵满足以下的运算规律:

通过矩阵的逆矩阵, 我们可以简化矩阵的计算, 求解矩阵方程, 讨论线性变化的逆变化等

利于计算

【义】设矩阵A=( aij ) m×n , 下面的三种变换:

【义】矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B, 则称矩阵A和矩阵B等价 , 记为A≅B
矩阵之间的等价关系具有以下三个性质:

通常我们会用矩阵的初等变换把矩阵化为较简单的形式. 下面是几种较常用到的矩阵

【义】2.15 n阶单位矩阵En 经过一次初等变换得到的矩阵称为n阶初等矩阵
一般地, 对n阶单位矩阵En 有

通过直接验证, 很容易得出初等矩阵具有以下性质:

【理】2.2 设A是m×n矩阵, 则:

【理】2.3 方阵A可逆的充分必要条件是: A可以表示成若干初等矩阵的乘积
【推】2.2 设A, B是m×n矩阵, 则A≅B的充分必要条件是: 存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q, 使得A=PBQ
【推】2.3 方阵A可逆的充分必要条件是: A≅E
【推】2.4 设A是可逆矩阵, 则只用初等行变换即可把A化为单位矩阵E. 同样, 只用初等列变换也能把A化为单位矩阵E

用初等变换计算逆矩阵

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