Question

线性代数-矩阵

Answer 1

【义】2.1 由m×n个数aij （ i＝1， 2， …， m； j＝1， 2， …， n） 排成的m行n列的数表，称为m行n列矩阵 ， 简称m×n矩阵

矩阵加法满足下列运算规律

【义】2.6 设有矩阵A＝（ aij ） m×k 和B＝（ bij ） k×n ， 那么规定矩阵A与B的乘积 是一个m×n矩阵C＝（ cij ） m×n ， 记作C＝AB

矩阵乘法虽然不满足交换律和消去律， 但是满足以下规律

【义】2.11 对于n阶方阵A， 若有一个n阶方阵B， 使得AB＝BA＝E． 则称矩阵A是可逆 的， 矩阵B为A的逆矩阵， 简称逆阵

矩阵的逆矩阵满足以下的运算规律：

通过矩阵的逆矩阵， 我们可以简化矩阵的计算， 求解矩阵方程， 讨论线性变化的逆变化等

利于计算

【义】设矩阵A＝（ aij ） m×n ， 下面的三种变换：

【义】矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B， 则称矩阵A和矩阵B等价 ， 记为A≅B
矩阵之间的等价关系具有以下三个性质：

通常我们会用矩阵的初等变换把矩阵化为较简单的形式． 下面是几种较常用到的矩阵

【义】2.15 n阶单位矩阵En 经过一次初等变换得到的矩阵称为n阶初等矩阵
一般地， 对n阶单位矩阵En 有

通过直接验证， 很容易得出初等矩阵具有以下性质：

【理】2.2 设A是m×n矩阵， 则：

【理】2.3 方阵A可逆的充分必要条件是： A可以表示成若干初等矩阵的乘积
【推】2.2 设A， B是m×n矩阵， 则A≅B的充分必要条件是： 存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q， 使得A＝PBQ
【推】2.3 方阵A可逆的充分必要条件是： A≅E
【推】2.4 设A是可逆矩阵， 则只用初等行变换即可把A化为单位矩阵E． 同样， 只用初等列变换也能把A化为单位矩阵E

用初等变换计算逆矩阵