Question

极限的证明

Answer 1

请楼主参看下面的解说，看看能不能理解 ε-δ 方法。

下面是本人两次回答的记录。

【第一次的回答】

一、极限的计算：

就是算出当x无限地趋向于某个值x。时，函数 f(x) 越来越无止境地趋向于何值？
在一般情况下，就是直接代入。

有些情况是无法直接代入的，这就是不定式的七种类型，譬如分子分母都趋向于0，
我们就不能分子分母都代入0。而是要找出它们的比例究竟越来越趋向于什么数，
这样的结果，我们就产生了各种各样的计算极限的方法。

二、极限理论的证明。

这部分不好理解，请楼主细细看看下面的解释，会忽然开通。

1、极限的最早萌芽概念，我们祖先也有过，但是被当成诡辩学而埋葬了。
时至今日，仍有绝大多数数学教师，一提到诡辩学，立马教条式地彻
底否认，没有思辨的任何理性空间。

2、鬼子的祖先，也有诡辩学，他们认认真真地研究了paradox，由此而
建立了极限理论。极限理论是桥梁，桥的这边是初等数学，桥的那边
是微积分，是高等数学。我们的理论贡献局限在桥这边，桥那边的理
论世界的建设，我们几乎完全是手无寸功，我们在科研上的落后就是
从这里开始的。

3、极限的理论究竟是什么呢？

第一，极限的证明理论

这就是我们的大学新生大学伊始时，兴致勃勃地心情遇到的第一记沉重
的闷棍。极限的理论，其实是吵架的理论，是无止境争辩的过程，也是
无穷列举法的理论化过程。例如：
(1)、我说当 x 无限趋向于 2 时，x² 就无限趋近于 4。
(2)、你不信，你要我证明给你看。
(3)、我说，那你随便给一个很小的数，你给了0.5。
(4)、我通过计算，我说只要 x = 2.10 就行。
(5)、你反悔了，改成了0.4。
(6)、我重新计算了一下，我说只要 x = 2.09 就行。
(7)、你又反悔，又改成了0.3。
(8)、我又重新计算，我说只要 x = 2.07 就行。
(9)、你再次反悔，再改成0.2。
(10)、我再次计算，我说只要 x = 2.04 就行。

、、、、你不断地反悔，不断地提出越来越苛刻的数据，我也不断地计算，
不断给出越来越接近于2的具体数，也就是越来越限制了 x 趋近于 2 的程
度、、、、、

结果我们都厌烦了。

(11)、我说，别闹了，你给出一个可以表示很小很小的象征性的数字吧。
(12)、你给出了一个代号 ε。
(13)、我根据你的代号 ε，经过一番计算，找到了另外一个数字代号 δ。
我对你说，你自己随便找一个跟 2 的差距不大于 δ 的数就可以了。
算了，算了，我把计算公式也给你吧，你自己出 ε，自己去找 δ，
这样你还有什么话说？

争吵就这样结束了，无穷列出变成了一个理论计算过程，结果就得到了证明。

这个证明逻辑思路是：

只要你给得出一个无论多小的数，ε；
我就能根据你的 ε，算出一个 δ ；
只要将x 的取值，限制在 δ 的范围内，函数值与极限值之差就小于 ε。
由于 ε可以任意的小，两者之差可以无止境的小下去，就证明了极限。

δ 是根据 ε 算出的，我算出一个δ，你可以用比我更小的 δ 限制 x 的范围，
所以，ε是任给的，δ 是根据 ε 推算的，但 δ 不是唯一的，可以有无数个
更严格的、更小的值。所以说，总存在一个 δ，但是这个 δ，必须由我们
去根据 ε找出来。

第二、极限的计算
微积分的前面部分，就是寻找各种计算方法，最典型的是罗毕达法则。

第三、极限的运用
可以说极限是微积分的基础，也可以说，微积分是极限理论的运用。

如果你不能明白极限的理论证明方法，
那么，我们得恭喜你！你真正理解了我们传统的优秀数学史，到了近代数学时，
怎么突然落后了、落伍了。当代理论，我们没有参与建立，迄今为止，我们还
处于三流开外。

如果你明白了极限的理论证明方法，
那么，我们得祝贺你！你真正开始领略到了现代数学、现代科学的真谛。体会
到了我们传统的、定性、模棱两可、之乎者也的学风，更现代数学、现代科学、
现代医学、、、、、之间的鸿沟是多么得深，多么得广，多么得不可同日而语。

【第二次的回答】

1、ε 是任意给的，但不是确定的！
ε 可以随时更改，可以改得越来越小，但 ε 并不是无穷小；
ε 仅仅是一个象征性的很小的、可以任意更改的正数。

任意的意思：
可以任意地小；可以任意地更改；
针对任何一个给出的 ε 的情况下，找到 δ ，或 N，
这是极限证明的核心！

也就是说，
δ 或 N 是 ε 的函数，是由 ε 决定的；
随便更改 ε，δ 或 N 也随之更改。

2、就 ε-N 证明方法而言，
根据 ε ，计算出一个 N，这个 N 也不是固定的：
A、N 的取值跟 ε 紧密相关，或者说 N 由 ε 所确定；
B、但是，在具体证明时，为了证明过程的顺利进行，
可以取不同的 N。也就是说，根据 ε，解不等式，
原本可以解出一个 N，假设为 N₁，可能解题困难，
我们可以放大这个，变大成为 N₂，N₂ > N₁，为了
严格证明，我们取 N = N₂。
也可能写成 N = max{N₁, N₂, N₃, N₄, 、、、}。

然后，当 n > N 时，由极限计算式算出的值，跟极限值之差，
就小于 ε，证明就结束了。

3、极限证明的过程，其实就是：
A、一个争吵的过程；一个无穷列举理论化的过程；
B、一个无止尽耍赖皮的过程，ε 可以任意给，也就是可以更改，
根据 ε 找到 N 的过程，就是理论化的过程。无论怎样更改 ε，
无论怎样耍无赖，只要 ε 给得出，N 就找得到。
.
这个过程就是理论化的过程，就是tendency的过程。
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只是我们的教学，过于花拳绣腿，大大咧咧地忽视了tendency，
仅仅着重于极限的限limiting、limitation。
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如果认识不到这点，到头来，是不可能获得真正的感悟的。
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学过极限证明理论的人每年千千万万，绝大多数，只是凑热闹而已。
他们永远悟不出真谛，包括绝大多数数学教师，都是人云亦云，不知所云。
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加油吧！
极限理论已经成熟了几百年了，极限理论的建立与完善，
跟我们没有丝毫的关系，我们完全没有半毛钱的贡献！
极限理论，对我们来说，完全是舶来品！完全是山寨！
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极限的理论，是鬼子建立的，是鬼子整合的，是鬼子完善的；
我们是，并且仅仅只是学习，只是摇旗呐喊，只是歌功颂德，
只是人云亦云，只是鹦鹉学舌，只是模仿秀，别无其他。
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迄今为止，
A、我们的教师在教书时，会下意识地暗示学生，似乎极限理论的建立，
我们也起了什么作用！
B、极限理论似乎刚建立起来不久，更好像还在建立过程中！
这些是刻意的误导！刻意的忽悠！
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经常有学生问：
1、极限理论研究的现状如何？
2、我国目前对极限研究的现状如何？
、、、、、、、、、
这些问题的提出，都一再表明，可怜的孩子们已经被可恶的教师们当成了白痴在玩弄！
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加油吧！任重而道远！
任重在于，雪耻教师们对当代科学毫无贡献的耻辱！
道远在于，纠正教师们有意无意的根深蒂固的误导！