Question

数列的通项与求和的方法

Answer 1

［例2］设An为数列{a n }的前n项和,An= (an－1),数列{b n }的通项公式为bn=4n+3;(1)求数列{a n }的通项公式；(2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列,证明：数列{d n }的通项公式为dn=32n+1;(3)设数列{d n }的第n项是数列{b n }中的第r项,Br为数列{b n }的前r项的和；Dn为数列{d n }的前n项和,Tn=Br－Dn,求 .命题意图：本题考查数列的通项公式及前n项和公式及其相互关系；集合的相关概念,数列极限,以及逻辑推理能力.知识依托：利用项与和的关系求an是本题的先决；(2)问中探寻{a n }与{b n }的相通之处,须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.错解分析：待证通项dn=32n+1与an的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r与n的关系,使Tn中既含有n,又含有r,会使所求的极限模糊不清.技巧与方法：(1)问中项与和的关系为常规方法,(2)问中把3拆解为4－1,再利用二项式定理,寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n与r的关系,正确表示Br,问题便可迎刃而解.(1)由An= (an－1),可知An+1= (an+1－1),∴an+1－an= (an+1－an),即 =3,而a1=A1= (a1－1),得a1=3,所以数列是以3为首项,公比为3的等比数列,数列{a n }的通项公式an=3n.(2)∵32n+1=3·32n=3·(4－1)2n=3·［42n+C ·42n－1(－1)+…+C ·4·(－1)+(－1)2n］=4n+3,∴32n+1∈{b n }.而数32n=(4－1)2n=42n+C ·42n－1·(－1)+…+C ·4·(－1)+(－1)2n=(4k+1),∴32n {b n },而数列{a n }={a 2n+1 }∪{a 2n },∴dn=32n+1.(3)由32n+1=4·r+3,可知r= ,∴Br= ,●锦囊妙计1.数列中数的有序性是数列定义的灵魂,要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同.因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性,又要注意数列方法的特殊性.2.数列{a n }前n 项和Sn与通项an的关系式：an= 3.求通项常用方法①作新数列法.作等差数列与等比数列.②累差叠加法.最基本形式是：an=(an－an－1+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1.③归纳、猜想法.4.数列前n项和常用求法①重要公式1+2+…+n= n(n+1)12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1)13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.③裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项：④错项相消法⑤并项求和法数列通项与和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法.●歼灭难点训练一、填空题1.(★★★★★)设zn=( )n,(n∈N*),记Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn｜,则 Sn=_________.2.(★★★★★)作边长为a的正三角形的内切圆,在这个圆内作新的内接正三角形,在新的正三角形内再作内切圆,如此继续下去,所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________.二、解答题3.(★★★★)数列{a n }满足a1=2,对于任意的n∈N*都有an＞0,且(n+1)an2+an·an+1－nan+12=0,又知数列{b n }的通项为bn=2n－1+1.(1)求数列{a n }的通项an及它的前n项和Sn；(2)求数列{b n }的前n项和Tn；(3)猜想Sn与Tn的大小关系,并说明理由.4.(★★★★)数列{a n }中,a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1－an,(n∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn;(3)设bn= (n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m,使得对任意n∈N*均有Tn＞ 成立?若存在,求出m的值；若不存在,说明理由.5.(★★★★★)设数列{a n }的前n项和为Sn,且Sn=(m+1)－man.对任意正整数n都成立,其中m为常数,且m＜－1.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比q=f(m),数列{b n }满足：b1= a1,bn=f(bn－1)(n≥2,n∈N*).试问当m为何值时,成立?6.(★★★★★)已知数列{b n }是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{b n }的通项bn；(2)设数列{a n }的通项an=loga(1+ )(其中a＞0且a≠1),记Sn是数列{a n }的前n项和,试比较Sn与 logabn+1的大小,并证明你的结论.7.(★★★★★)设数列{a n }的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式：3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…).(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f(t),作数列{b n },使b1=1,bn=f( )(n=2,3,4…),求数列{b n }的通项bn；(3)求和：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1.