求视频:设f x 是可导函数 且满足f\'(x)>f(x),证明f(x)>e^x*f(0)
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构造函数g(x)=[e^(-x)]×f(x).(即e的(-x)次方×f(x))
易知,该函数定义域为R.
求导,g'(x)=-[e^(-x)]f(x) [e^(-x)]f'(x)
=[e^(-x)][f'(x)-f(x)].
∴g'(x)=[e^(-x)]×[f'(x)-f(x)]
由题设f'(x)＞f(x)及e^(-x)＞0可知,
恒有g'(x)＞0.
∴在R上,函数g(x)递增.
当a＞0时,就有：g(a)＞g(0)
即[e^(-a)]f(a)＞f(0).
∴f(a)＞[e^a]f(0).
易知,该函数定义域为R.
求导,g'(x)=-[e^(-x)]f(x) [e^(-x)]f'(x)
=[e^(-x)][f'(x)-f(x)].
∴g'(x)=[e^(-x)]×[f'(x)-f(x)]
由题设f'(x)＞f(x)及e^(-x)＞0可知,
恒有g'(x)＞0.
∴在R上,函数g(x)递增.
当a＞0时,就有：g(a)＞g(0)
即[e^(-a)]f(a)＞f(0).
∴f(a)＞[e^a]f(0).
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