Question

导数公式是怎么来的 推导过程是什么

Answer 1

在初中数学学习过程中，导数也是一个学习重点。那么，导数公式是怎么来的呢?下面我整理了一些相关信息，供大家参考!

导数公式是什么

这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程：(*为乘号)

y = C(C为常数) , y' = 0

y=xn, y' = nxn-1

y = ax, y' = lna*ax

y = ex, y' = ex

y = logax , y' = 1 / (x*lna)

y = lnx , y' = 1/x

y = sinx , y' = cosx

y = cosx , y' = -sinx

y = tanx , y' = 1/cos2x = sec2x

y = cotx , y' = -1/sin2x= -csc2x

y = arcsinx , y' = 1 / √(1-x2)

y = arccosx , y' = - 1 /√(1-x2)

y = arctanx , y' = 1/(1+x2)

y = arccotx , y' = - 1/(1+x2)

引用的常用公式

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

⒈(链式法则)y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x) 『f'[g(x)]中g(x) 看作整个变量，而g'(x) 中把x看作变量』

2. y=u*v,y'=u'v+uv'(一般的leibniz公式)

3.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2，事实上4.可由3.直接推得

4.(反函数求导法则)y=f(x) 的反函数是x=g(y) ，则有y'=1/x'

导数公式推导过程

设：指数函数为：y=a^x

y'=lim【△x→0】[a^(x+△x)-a^x]/△x

y'=lim【△x→0】{(a^x)[(a^(△x)]-a^x}/△x

y'=lim【△x→0】(a^x){[(a^(△x)]-1}/△x

y'=(a^x)lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x…………(1)

设：[(a^(△x)]-1=M

则：△x=log【a】(M+1)

因此,有：‘

{[(a^(△x)]-1}/△x

=M/log【a】(M+1)

=1/log【a】[(M+1)^(1/M)]

当△x→0时,有M→0

故：

lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x

=lim【M→0】1/log【a】[(M+1)^(1/M)]

=1/log【a】e

=lna

代入(1),有：

y'=(a^x)lim【△x→0】{[(a^(△x)]-1}/△x

y'=(a^x)lna