Question

数学到底是什么？

Answer 1

学了那么多年数学，但是问你什么是数学，你能回答得出来吗？

我估计绝大多数人都回答不了这个问题，这其实也印证了一个哲学观点——越简单的问题越难回答。

数学本身是一个历史的概念，数学的内涵是随着时代的变化而变化的，所以要想给数学下定义就得从历史的角度来谈谈“什么是数学”这个问题。

现在我按照从古到今的顺序罗列出人们对数学的定义：

1.    数学是量的科学

2.    数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学

3.    现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学

4.    【数学】这个领域已被称作模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性

这里罗列出的是最具影响力的一些定义，大多数人都将数学的定义在第2点上面，但是当今数学界大多数数学家们更认同与接受最后一个定义，因为它具有高度的概括性。

“任何学科都有其基本结构，任何与该学科有联系的事实、论据、观念、概念等都可以不断地纳入一个处于不断统一的结构之内。”这是教育学家布鲁纳的“学科基本结构理论”。打个比方：假如学科是一股泉水，那么它的基本结构就是泉源，泉水都是来源于泉源的，只有找到源头，我们才能真正了解这股泉水。那么对于数学来说，它的“泉源”是什么呢？

要找数学的“源头”那就得知道欧几里得的《原本》，这是被人们称作“数学的圣经”的书，是当时整个希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。

欧几里得在这本原著中用公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。全书共分13卷，包括5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。

《原本》中的最基本的定义有：

1.    点是没有部分的

2.    线是没有宽度的长

3.    面是只有长度和宽度的

4.    圆是由一条曲线包围的平面图形，从其内一点出发落在曲线上，所有线段彼此相等

……

《原本》中的5条公设：

1.    假定从任意一点到任意一点可作一条直线

2.    一条有限直线可不断延长

3.    以任意中心和直径可以画圆

4.    凡直角都彼此相等

5.    若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交

《原本》中的5条公理：

1.    等于同量的量彼此相等

2.    等量加等量，和相等

3.    等量减等量，差相等

4.    彼此重合的图形是全等的

5.    整体大于部分

这里解释一下公理和公设的区别：公理是在任何数学学科里都适用的不需要证明的基本原理。公设则是几何学里的不需要证明的基本原理，就是现代几何学里的公理。

欧几里得以这些基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点，这成为了数学最基本的出发点，也就是我们说的数学的“源头”，这也正是数学的魅力所在！