三分之二加二分之2/3+1/2，-4/15等于多少？
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摘要：
用全新的递升算法，证明了素数分成八族，计算出相连素数的分布概率。
证明了素数尾数以1、7、1、3、7、9、3、9为循环节，作不完整的无限循环。计算出在数域无穷大情况下，相邻素数尾数的分布概率。
提出了计算孪生素数、四生素数的一般公式，修正了六素数的定义，给出了包含素数间距，产生K－素数组类型的源头偶数链。
提出了证明孪生素数猜想的新思路。
相连素数、素数尾数、概率、权重、间距、比例。
相连素数的尾数
2016年，美国斯坦福大学的莱姆克奥利弗和索朗达拉拉哈恩考察前4000亿个素数，公布了令人震撼的重大发现。
后一个素数的尾数，会尽量避免与前数相同。
例如，个位为7的素数，更容易跟着个位为9、3或者1的素数，而不是尾数同样为7的素数。
如果素数是完全随机的，后数的尾数就应该与前数无关，1、3、7、9的分布概率均为25%。
大范围的数据检测表明，素数以1、3、7、9四个数字结尾的总体几率大致相同。但出现的顺序却有所“偏好”， 还很不一致。
例如，尾数为3的素数之后，更容易出现尾数为9的素数，而不是1或者7。
为了书写方便，我创造了几个新的符号。
n-m，指尾数为n的素数之后，接尾数为m的素数。P﹙n-m﹚，指尾数为n的素数之后，接尾数为m的素数所占比例。
斯坦福大学统计了前一亿个素数，得到了相邻素数尾数的分布概率，如下：
1-1，P＝4.425%；1-3，P＝7.598%；1-7，P＝7.758%；1-9，P＝5.218%。将它们换算成后续素数中各尾数所占的比例，则是：
P﹙1-1﹚＝17.7%
P﹙1-3﹚＝30.4%
P﹙1-7﹚＝31%
P﹙1-9﹚＝20.9%
3-1，5.910%；3-3，4.167%；3-7，7.172%；3-9，7.753%，换算是：
P﹙3-1﹚＝23.6%
P﹙3-3﹚＝16.7%
P﹙3-7﹚＝28.7%
P﹙3-9﹚＝31%
7-1，6.396%；7-3，6.832%；7-7，4.169%；7-9，7.605%，换算是：
P（7-1﹚＝26.6%
P﹙7-3﹚＝27.3%
P﹙7-7﹚＝16.7%
P﹙7-9﹚＝30.4%
9-1，8.268%；9-3，6.405%；9-7，5.903%；9-9，4.420%，换算是：
P﹙9-1﹚＝33.1%
P﹙9-3﹚＝25.6%
P﹙9-7﹚＝23.6%
P﹙9-9﹚＝17.7%
数据清晰显示，相邻素数尾数相同的概率远远低于25%。
一般认为，沿着数轴前进会由小往大遇到尾数为1、3、7、9的奇数，所以相邻素数的尾数不容易重复。
但这无法解释概率偏差的程度，也无法解释那些“偏好”。
例如，P﹙3-9﹚＝31%，说明以3结尾的素数，后面更容易出现以9结尾的素数，而不是7或者1。
P﹙9-1﹚＝33.1%，说明以9结尾的素数，后续素数有将近三分之一以1结尾。
这种反直觉的奇怪现象，无法解释，只有一百年前哈代与理特伍德的“K元素数猜想“比较接近。但是连猜想本身，也未获得证明。
我刚刚创立一种生成、分解、判定素数的递升算法，挺好地揭示了间距与分布，可以解释、预测、精确计算出素数尾数分布的极限概率。
本文只介绍与尾数相关的部分。
大于30的素数取模于30，余数必定是8个数字之一：1、7、11、13、17、19、23、29。
即：P ≡ 1、7、11、13、17、19、23、29﹙mod 30﹚
也即：P＝30N＋﹙1、7、11、13、17、19、23、29﹚
例如：
9001 ≡ 1（mod 30﹚＝300×30＋1
9007 ≡ 7（mod 30﹚＝300×30＋7
9011 ≡ 11（mod 30﹚＝300×30＋11
9013 ≡ 13（mod 30﹚＝300×30＋13
30N加上1、7、11、13、17、19、23、29之后，生成的素数分成了8个类别。
即八个素数族：
﹙1﹚，﹙7﹚，﹙11﹚，﹙13﹚，﹙17﹚，﹙19﹚，﹙23﹚，﹙29﹚。
引理：狄利克雷定理。
如果整数d≥2，a≠0，d⊥a，那么在算术级数a，a＋d，a＋2d，a＋3d……中，包含着无穷多个素数。
8个类别中，每一类包含的素数都无穷多，而任意素数取模于30后均得到8个固定的小数。所以，它们构成了全体素数。
当然，并非每一个30N都形成了素数，例如91＝3×30＋1就不是。
况且素数间距可以无穷大，并非所有的30N之间都存在素数。例如，素连乘29#和29#＋30之间就没有。
结论1：
素数尾数不是按照1、3、7、9的顺序延伸，而是以1、7、1、3、7、9、3、9为循环节，以逐级递升的30N为阶梯，进行着不完整的无限循环。
例如，30 – 60 – 90 – 120 - 150之间的素数尾数分布如下：
﹙30，60﹚ ：1……7……1……3……7……×……3……9
﹙60，90﹚ ：1……7……1……3……×……9……3……9
﹙90，120﹚ ：×……7……1……3……7……9……3……×
﹙120，150﹚：×……7……1……×……7……9……×……9
数域越大，素数越稀疏。每一个类别形成素数的总体概率趋向了一致，素数尾数的总体分布概率也趋向平均。
8个位置，就是8次生成素数的机会。
对应某一个具体的素数，后面接什么素数被数域环境决定。
例如，在素数353711之后，紧接着 353737、353747、353767 、353777四个尾数均为7的素数。
353737 ≡ 7﹙mod30﹚
353747 ≡ 17﹙mod30﹚
353767 ≡ 7﹙mod30﹚
353777 ≡ 17﹙mod30﹚
在两次循环中，循环节1、7、1、3、7、9、3、9中的1、3、9消失了，353741、353743、353749……等不是素数，被剔除。于是353747、353767 、353777替补上前，占据了它们的位置。
假如不对应具体素数，考察范围无穷大，那么8个位置生成素数的频率均等。
即，8个位置出现素数的概率均等。
证明如下：
由30N加上1、7、11、13、17、19、23、29，生成的8个素数族群加上30的素因子2、3、5，构成了全体素数。每一个族群都无穷大，集合与集合之间，元素可以形成映射关系。
例如，集合﹙7﹚与﹙11﹚。
7对应11，37对应41，67对应71，97对应101……无穷无尽。
取﹙7﹚中的任意一个素数，总能在﹙11﹚中找到一个唯一的素数对应。而且，比它们小的素数也全部实现了一一对应。
说明两个无穷大的集合﹙7﹚与﹙11﹚大小相等，意味着30N＋7和30N＋11生成素数的总量F相等。
当N趋向∞时，F﹙7﹚／N＝F﹙11﹚／N，两类素数发生的频率相等。
引理：伯努力大数定律
n趋向于无穷大，事件发生的频率f／n，将无限接近一次实验发生的概率p。
说明，30N＋7和30N＋11生成素数的概率均等。
扩大证明范围，得出：
在无穷数域的情况下，8个位置出现素数的概率均等。
然而，具体到某一个素数后面会接什么素数，却跟循环节中数字的位置有重要关系。靠前的位置占据了领先优势，加大了统计概率。
在总体概率平均的情况下，由于只统计相邻素数，当第1个位置出现了素数，后续的7个位置不管有没有成功，统统失去了被统计的资格。
换一个角度看。
除了2、3、5，任意素数都会连接八族素数中的一个，概率为100％。循环节中，八个位置生成素数的概率均为1／8。
前一个素数族确定了，后面八族素数按照不完整循环节展开的顺序也确定了。为方便计算，给予循环节8次机会，以确保生成素数。
由于素数的相连是由小到大，循序展开的。第一个位置只要生成素数就会被纳入统计，等于拥有了8次有效机会。
对第二个位置而言，只有第一个位置没有生成素数才可能纳入统计。而8次机会中，第一个位置至少生成了一个素数。所以，它只剩下7次有效机会。
以此类推，第三个位置是6次……第八个位置是1次。
反映到权重上，把第一个位置定为8。
同理，得出第2个位置的权重是7，第3个位置的权重是6，第4个位置的权重是5，第5个位置的权重是4，第6个位置的权重是3，第7个位置的权重是2，第8个位置的权重是1。
在离散情况下，权重即概率。
全体位置的总权重是：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36
按照1、7、1、3、7、9、3、9的循环顺序，数域趋向无穷大时相邻素数的尾数分布概率，也是它们所占的比例。
例如，求尾数为1的素数之后接尾数为3的素数，比例是多少？
循环节中共有两个1，前一个属于﹙1﹚的类别，后一个属于﹙11﹚的类别。对﹙1﹚类别而言，后面第3个和第6个位置是3，权重为6和3；对﹙11﹚类别而言，后面第1个和第4个位置是3，权重为8和5。
平均权重为﹙6＋3＋8＋5﹚／2。
占总权重的比例为﹛﹙6＋3＋8＋5﹚／2﹜／36。
简化计算如下：
P﹙1-1﹚＝﹙7＋1＋3＋1﹚／72＝16.7%
P﹙1-3﹚＝﹙6＋3＋8＋5﹚／72＝30.6%
P﹙1-7﹚＝﹙8＋5＋7＋2﹚／72＝30.5％
P﹙1-9﹚＝﹙4＋2＋6＋4﹚／72＝22.2%
P﹙3-1﹚＝﹙4＋2＋7＋5﹚／72＝25%
P﹙3-3﹚＝﹙6＋1＋4＋1﹚／72＝16.7%
P﹙3-7﹚＝﹙8＋3＋6＋3﹚／72＝27.8％
P﹙3-9﹚＝﹙7＋5＋8＋2﹚／72＝30.5%
P﹙7-1﹚＝﹙8＋2＋5＋3﹚／72＝25%
P﹙7-3﹚＝﹙7＋4＋7＋2﹚／72＝27.8%
P﹙7-7﹚＝﹙6＋1＋4＋1﹚／72＝16.7％
P﹙7-9﹚＝﹙5＋3＋8＋6﹚／72＝30.5%
P﹙9-1﹚＝﹙6＋4＋8＋6﹚／72＝33.3%
P﹙9-3﹚＝﹙8＋3＋5＋2﹚／72＝25%
P﹙9-7﹚＝﹙5＋2＋7＋4﹚／72＝25％
P﹙9-9﹚＝﹙7＋1＋3＋1﹚／72＝16.7%
上面计算出来的数值，与斯坦福大学的统计结果比较，基本上每一项的吻合程度都超过了99％。之所以存在1%的偏差，是因为前1亿个素数的数域还不够大，选择的样本还不够多。
相邻素数为什么不愿意重复尾数？
为什么某些尾数的素数之后，更容易跟着特定尾数的素数？
一切都被概率决定！
结论2：
递升算法计算出来的，是理想状态下的极限值。
素数尾数的分布概率，在每一个阶段都存在波动与偏离。随着数域扩大，样本增多，逐渐靠近极限。
例如，在100以内，P﹙9-1﹚＝40％；在1000以内，P﹙9-1﹚＝28％；在10000以内，P﹙9-1﹚＝34％。
斯坦福大学的统计显示，在前1亿个素数内，P﹙9-1﹚＝33.1%。而递升算法计算出来的极限值，则是：P﹙9-1﹚＝33.3%。
运用递升算法，可以求出任意间隔素数的尾数分布概率。
例如，预测某素数与后面第八个素数尾数相同的概率将大幅度上升。当数域越大，采样越多，效果越明显。
考察300000——320000区间，尾数为1的素数，其后第八个素数尾数也为1的概率，高达31.9％。
相连素数
不过，对尾数的研究混淆了八个素数族，掩盖了真相。
例如P﹙1-3﹚，实际上是﹙1﹚、﹙11﹚与﹙13﹚、﹙23﹚相连的混合结果。
真正具备重大意义的，是相连素数的分布概率，它意味着素数间距。
除了2、3、5，全体素数按照﹙1﹚、﹙7﹚、﹙11﹚、﹙13﹚、﹙17﹚、﹙19﹚、﹙23﹚、﹙29﹚的先后顺序，进行着不完整的无限循环。
以﹙1﹚为例，连接了﹙7﹚、﹙11﹚、﹙13﹚、﹙17﹚、﹙19﹚、﹙23﹚、﹙29﹚、﹙1﹚，权重分别是8、7、6、5、4、3、2、1，总权重为36。
当数域充分大，与﹙1﹚族相连的素数分布将无限趋近如下比例：
P﹙1﹚-﹙7﹚＝8／36＝22·2……％
P﹙1﹚-﹙11﹚＝7／36＝19·4……％
P﹙1﹚-﹙13﹚＝6／36＝16·7……％
P﹙1﹚-﹙17﹚＝5／36＝13·9……％
P﹙1﹚-﹙19﹚＝4／36＝11·1……％
P﹙1﹚-﹙23﹚＝3／36＝8·3……％
P﹙1﹚-﹙29﹚＝2／36＝5·6……％
P﹙1﹚-﹙1﹚＝1／36＝2·8……％
考察数域﹙250000-1850000﹚，每一次扩大十万统计范围。在﹙250000－350000﹚，﹙250000－450000﹚……﹙250000－1850000﹚中，﹙1﹚族素数接各族素数的分布比例如下：
P﹙1﹚-﹙7﹚
29·4％→29·1％→28·7％→28·3％→27·9％→27·8％→27·4％→27·2％→27·2％→
27·3％→27·4％→27·3％→27·0％→27·1％→27·0％→26·9％……
→22·2……％
P﹙1﹚-﹙11﹚
23·1％→21·1％→21·4％→21·0％→21·1％→21·3％→21·4％→21·4％→21·4％→
21·3％→21·2％→21·2％→21·2％→21·0％→20·9％→20·8％……
→19·4……％
P﹙1﹚-﹙13﹚
15·3％→16·7％→16·1％→16·3％→16·3％→16·3％→16·3％→16·2％→16·1％→
16·2％→16·3％→16·2％→16·3％→16·2％→16·2％→16·3％……
→16·7……％
P﹙1﹚-﹙17﹚
10·8％→10·9％→11·7％→12·2％→12·2％→11·7％→11·4％→11·5％→11·5％→
11·5％→11·4％→11·6％→11·7％→11·8％→11·8％→11·8％……
→13·9……％
P﹙1﹚-﹙19﹚
9·5％→9·6％→9·3％→8·9％→8·7％→8·9％→9·1％→9·2％→9·2％
9·1％→9·1％→9·0％→9·0％→9·1％→9·1％→9·1％……
→11·1……％
P﹙1﹚-﹙23﹚
5·7％→6·3％→6·5％→6·9％→6·8％→6·8％→7·0％→7·0％→7·0％→
7·1％→7·2％→7·3％→7·2％→7·2％→7·3％→7·3％……
→8·3……％
P﹙1﹚-﹙29﹚
4·6％→4·5％→4·5％→4·4％→4·6％→4·6％→4·7％→4·8％→4·7％→
4·7％→4·6％→4·6％→4·7％→4·7％→4·8％→4·9％……
→5·6……％
P﹙1﹚-﹙1﹚
1·6％→1·8％→1·8％→2·0％→2·4％→2·6％→2·7％→2·7％→2·9％→
2·8％→2·8％→2·8％→2·9％→2·9％→2·9％→2·9％……
→2·8……％
统计数据和递升算法的预测数值，基本一致。
P﹙1﹚-﹙7﹚与P﹙1﹚-﹙11﹚的初始偏差高达7％和4％，是因为数域不够大，数值小。小数值区域素数密集，靠前位置被选择的概率加大了。
从0开始的几万区间，P﹙1﹚-﹙7﹚超过了30％。
随着数域扩大，相连素数分布概率的波动越来越小了，渐渐逼近理想值。
结论3：
素数不是完全随机的！
它由2、3、5和八个族组成，在无限数域的情况下，族与族相连的分布概率是一个确定的、非随机平均化的常数。
孪生素数
孪生素数的间距为2，除了3、5、7，全部来自﹙11﹚-﹙13﹚，﹙17﹚-﹙19﹚，﹙29﹚－﹙1﹚。
P﹙11﹚-﹙13﹚＝P﹙17﹚-﹙19﹚＝P﹙29﹚－﹙1﹚＝22·2……％。
p与p＋2＋30N相连，当N＝0时是孪生素数。
例如﹙11﹚-﹙13﹚中，41与43是孪生素数，303431连接303463，N＝1。
设p＋2＋0×30的分布概率为P﹙0﹚，p＋2＋1×30的为P﹙1﹚……
则：P﹙11﹚-﹙13﹚＝P﹙0﹚＋P﹙1﹚＋P﹙2﹚＋……
相连素数循环了N＋1次，意味着N次循环失败，p＋x＋30N与p相连。
x为小于30的偶数，是各族素数相连的最小间距。例如，﹙1﹚－﹙29﹚，x＝28；﹙29﹚-﹙1﹚，x＝2。
先看二次循环，以此类推。
从p0至p1，共计9个可能产生素数的位置，权重比例为：9、8、7、6、5、4、3、2、1。由于中间没有素数，p0所占的比例为：9／﹙9＋1﹚＝90％。
考察数域9200000-9300000中的﹙11﹚-﹙13﹚，只有二次循环，数据如下：
P﹙11﹚-﹙13﹚＝23·8％，P0＝91·4％，P1＝8·6％。
数据非常吻合。
假如是三次循环的数域，理论上，P0＝17／﹙17＋9＋1﹚＝63％
考察9300000-9400000，出现了三次循环，数据如下：
P﹙11﹚-﹙13﹚＝25％，P0＝88·3％，P1＝10·6％，P2＝1·1％。
P0的偏差大，在于理论计算中视p1、p2、p3……分布于全数域。实际上随着数域扩大，相连素数的间距拉开，p1、p2、p3……才逐渐出现。
例如，1000以内的素数间距不超过30，P0＝100％，不可能出现二次循环。
前数的累积，导致偏差巨大。
对于从自然数域中截取的小区间，最高循环一般不会分布充分。设其为离群值舍弃，才能够得到接近真实的P0。
像9300000-9400000中，设三次循环为离群值，则理论上的P0＝90％。
通过P0，能够估算孪生素数。
循环的次数为N＋1，令M＝N＋1。
M次循环，权重构成了一个首项为1，公差为8，共计M项的等差数列。
p0的权重为：1＋8﹙M－1﹚＝8M－7
总权重为：M＋4M﹙M－1﹚＝M﹙4M－3﹚
P0＝﹙8M－7﹚／[M﹙4M－3﹚]
上式显示，M越大，P0越小。M趋向于无穷大，P0趋向于0。孪生素数将随着数域的扩大越来越稀少，渐渐接近零。
设素数个数为A，孪生素数的组数为B。
以﹙11﹚、﹙17﹚、﹙29﹚为首的素数，比例接近总数的3／8。分别接﹙13﹚、﹙19﹚、﹙1﹚的概率为8／36，形成最小间距2的比例为P0。
得：B＝A×﹙3／8﹚×﹙8／36﹚P0＝A×P0／12
公式中的P0针对整个自然数域，是N趋向无穷大时的综合情况。针对有限域，加权平均才可以计算出接近真实的结果。
随着数域扩大，素数间距逐渐拉开。末尾区间的最大间距，基本上代表了最高循环次数，可以视为M。
本文按照国际通行标准，舍弃最大值的75％及以上部分为离群值。例如，检测末尾区间得到最高循环次数为17，则M＝11。
当数域充分大，素数间距循环次数逐渐增加。局部未必均衡，但是随着数域向无穷发展，整体将会接近均衡。
假设理想的均衡状态，从0开始，数域的最高循环次数为M。由小到大划分出M个区间，在第一个区间只有1次循环，第二个区间有1次循环和2次循环……第M个区间有1、2……M次循环。
1次循环出现的次数将是最高循环的M倍，2次循环是M－1倍……
因此，P0的加权平均值为：
[MP0＋﹙M－1﹚P1＋……Pm ] ／﹙1＋2＋……＋M﹚
以下数据，由高红卫先生提供。
自然数域1·116E﹢13内共有素数4·18E﹢11个，孪生素数2·07E﹢10组。在末尾6E﹢9的区间，1114241678707——1114241679139形成了最大间距432，循环了15次。
取M＝10，则：
P0＝[1×10＋﹙9／10﹚×9＋……﹙73／370﹚] ／﹙1＋2＋……10﹚＝59·9％
得B＝2·087 E﹢10，偏差为﹢0·8％。
自然数域1·248E﹢13内，共有素数4·655E﹢11个，孪生素数2·296E﹢10组。在末尾6E﹢9的区间，1247877402521——1247877402977形成了最大间距456，循环了16次。
取M＝11，则P0＝57·3％。
得B＝2·223 E﹢10，偏差为﹣3·2％。
自然数域1·26E﹢13内，共有素数4·698E﹢11个，孪生素数2·316E﹢10组。在末尾6E﹢9的区间，1258535916601——1258535917103形成了最大间距502，循环了17次。
取M＝11，则P0＝57·3％。
得B＝2·243 E﹢10，偏差为﹣3·2％。
由三组数据可以看出，除非检测全数域，否则无法获得真实的P0值。然而，知道了A与B就可以倒推出P0，将获得精准结果。
例如，由自然数域1·248E﹢13的P0＝59·2％，推测差不多大小的1·26E﹢13也如此。得B＝2·317E﹢10，偏差仅为﹢0·04％。
例如，估算孪生素数的组合。
四胞胎素数
四胞胎素数指符合﹙p、 p+2、p+6、 p+8﹚的素数组，例如﹙5、7、11、13﹚和﹙11、13、17、19﹚……有的研究将﹙2、3、5、7﹚也列入了。
这是两组孪生素数相连，间距为4，也被称作四生素数。
2、3、5作为初始素数，不属于任何族群。无穷数域，孤证不举。它们对结果产生不了任何影响，未被本文纳入计算。
除了﹙5、7、11、13﹚，符合﹙p、 p+2、p+6、 p+8﹚形式的，只有﹙11﹚-﹙13﹚-﹙17﹚-﹙19﹚。
经典概率中，可能性是独立的。
三个事件发生的概率为A、B、C，共同发生的概率就是A×B×C。假如三个事件形成了条件制约，共同发生的概率将小于A×B×C。
自然数域中，前数决定了后数。各种可能性相互干涉，没有完全独立的存在。每一个数的呈现，都是概率叠加的结果。
设数域中有素数A个，孪生素数B组，四胞胎素数C组。
根据递升算法，把﹙11﹚-﹙13﹚视为整体，则其对﹙17﹚的综合权重为﹙7＋8﹚×﹙7＋8﹚／﹙8＋8﹚，三者对﹙19﹚的权重为6、7、8。
平均所有权重，得：
C＝﹙B／3﹚×[﹙7＋8﹚﹙7＋8﹚／﹙8＋8﹚／36／2]P0×[﹙6＋7＋8﹚／36／3]P0
＝﹙175／13824﹚BP0P0
＝﹙175／96﹚BBB／AA
公式显示，随着数域扩大，四胞胎的比例将比孪生素数下降得更快。
以下数据由“月亮在营业”先生提供，估值C由上式计算出来。
数域：4·20E﹢7
A：2·54E﹢6，B：2·05E﹢5，C：2·49E﹢3，估值C：2·43E﹢3
数域：1·68E﹢8
A：9·39E﹢6，B：6·96E﹢5，C：7·05E﹢3，估值C：7·0E﹢3
数域：1·34E﹢9
A：6·72E﹢7，B：4·46E﹢6，C：3·58E﹢4，估值C∶3·58E﹢4
数域：1·07E﹢10
A：4·87E﹢8，B：2·92E﹢7，C：1·91E﹢5，估值C：1·91E﹢5
数域：6·87E﹢11
A：2·62E﹢10，B：1·32E﹢9，C：6·11E﹢6，估值C：6·11E﹢6
偏差为：﹣2·4％，﹣0·7％，0％，0％，0％。
扩大范围，提高精度。
以下的A、B、C值来自公开数据，估值C由上式计算出来。
数域：1·25E﹢15
A：3·70587E﹢13，B：1·45207E﹢12，C：4·034E﹢9，估值C：4·064E﹢9
数域：2·5E﹢15
A：7·26235E﹢13，B：2·78812E﹢12，C：7·435E﹢9，估值C：7·491E﹢9
数域：5E﹢15
A：1·42377E﹢14，B：5·35788E﹢12，C：1·373E﹢10，估值C∶1·383E﹢10
数域：1E﹢16
A：2·79238E﹢14，B：1·03042E﹢13，C：2·538E﹢10，估值C：2·558E﹢10
数域：2E﹢16
A：5·47863E﹢14，B：1·98318E﹢13，C：4·7E﹢10，估值C：4·737E﹢10
对五个自然数域的理论计算，与实际情况完美吻合，偏差仅为：
﹢0·74％，﹢0·75％，﹢0·73％，﹢0·79％，﹢0·79％
有限域的三类孪生素数并不精确等于总数的1／3，BBB连乘三次，放大了偏差。
例如在1万的数域中，﹙29﹚-﹙1﹚占了孪生素数总数的36·1％，在5万时的占比为32·4％，在20万时的占比为32·7％。
六素数
六素数，指间距为6的素数组。
以四元组为例，来自﹙1﹚-﹙7﹚-﹙13﹚-﹙19﹚和﹙11﹚-﹙17﹚-﹙23﹚-﹙29﹚。例如， ﹙41，47，53，59﹚，﹙61，67，73，79﹚……
从递升算法的角度看，在﹙19﹚和﹙29﹚之后，相连素数的间距由小到大分别是4、10……和2、8……所以，六素数不可能有五元组。
从等差数列的角度看，连续5个数必有一个被5整除，唯一的五元组是﹙5，11，17，23，29﹚。
我觉得，﹙5，11，17，23﹚和﹙5，11，17，23，29﹚属于孤证，将它们列入六素数是不科学的。
K-素数组
K-素数组指p，p＋b1……p＋bk－1是K个相连素数，b1＜b2……＜bk－1，不存在相同长度的素数序列q使得qk－1－q0＜bk－1。
K-素数组的类型是﹙b1，b2……bk－1﹚，当bk－1取最小值时称为紧凑类型﹙tight﹚。
除了2、3、5，全体素数按照﹙1﹚、﹙7﹚、﹙11﹚、﹙13﹚、﹙17﹚、﹙19﹚、﹙23﹚、﹙29﹚的顺序，作不完整的无限循环。
除了2、3、5，以最小族间距为循环节，无限延伸的偶数长链：
6、4、2、4、2、4、6、2、6、4、2、4、2、4、6、2、6、4、2……
我称为之“母链”，包含了所有素数的间距，无论相连或者不相连。任意两个素数的间距，是所处长链位置的间距之和。
例如，9907、9923、9929分别属于﹙7﹚、﹙23﹚、﹙29﹚，对应的位置为：
9907＋4＋2＋4＋2＋4∶9923＋6∶9929
对应的母链片段为：4、2、4、2、4、6，前四个位置被合数占据。
母链也是全部K-素数组类型的源头。b等于最小族间距之和，素数组最紧凑。当中间环节缺失，便产生了其它类型。
例如，最紧凑的12-素数组。
﹙7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47﹚
当然，把3和5列入会得到另外的结果。但它们属于孤证，本文不作讨论。
例如，以﹙11﹚开始的素数组，理论上最小的素数间距是：
2、4、2、4、6、2、6、4、2、4、2、4、6、2、6、4、2、4、2、4、6、2……
把间距相加，对应的类型是：
2，6，8，12，18，20，26，30，32，36，38，42，48，50，56，60，62，66……
目前发现的最大17-素数组，p＝2845372542509911868266811属于﹙11﹚，类型是：
﹙6，8，12，18，20，26，32，36，38，42，48，50，56，60，62，66﹚
与最紧凑的类型比较，缺少了b＝2、30。
衍生意义
前面证明了，在无穷数域的情况下，8族位置出现素数的概率均等。
假设进一步完成关键证明，针对素数p，p＋x＋30N也是素数的概率均等，将推导出一系列重要成果。
例如，孪生素数猜想。
尽管p0、p1、p2……出现的概率均等，但只统计相连素数，靠前的位置将具备更大权重，加大了选择概率。
得：P﹙0﹚＞P﹙1﹚＞P﹙2﹚……
如果孪生素数有限，便存在着最大值。﹙11﹚-﹙13﹚，﹙17﹚-﹙19﹚，﹙29﹚－﹙1﹚从最大值开始，P0＝0。
由于素数无穷多，各族素数的集合大小相等。从最大值开始统计，P﹙11﹚-﹙13﹚、P﹙17﹚-﹙19﹚、P﹙29﹚－﹙1﹚大于零。
即：P＝P﹙0﹚＋P﹙1﹚＋P﹙2﹚……＞0
所以，P﹙0﹚不可能等于0，孪生素数有无穷多。
总之，如果p＋x＋30N的假设成立，还可以证明：
1，相连素数的间距为全体偶数。
2，每一个偶数间距，都存在着无穷多的相连素数。
建议：
古典观念里，1也算素数。由于分解素因子时需要不厌其烦地附加一句“除了1”，最终被移出素数行列。
本文多次提到的2、3、5，也面临着相同情况。
我觉得，把2、3、5列为“特殊素数”才好，正如把0列为特殊偶数。相应地，孪生素数、四生素数、六素数、K-素数组……的定义，也将被修正。
以后对素数的研究，就可以简化为八个族了。
题外话：
一位教授问我，为什么是30？
我说，这是由十进制的特点决定。
对素数取模于2，得到2n±1，范围太空泛了。
取模于2×3＝6，得到6n±1，开始具备研究价值。例如，素数的数量以36n﹙n＋1﹚为单位，呈波浪形增加。
取模于2×3×5＝30，八个素数族清晰地显露了出来。
继续下去，是否得到更好结果？例如，取模于2×3×5×7……
答案是否定的。
那其实是把八族素数切割成了细碎片段，反而难见全貌。
本文创立的素数权重模型，其实可以运用于生活中所有的排序选择。如会议轮值，竞选投票，晋升通道，城市扩张，金融投资，甚至宴席敬酒，照相站位，外交政策，自然现象……
参考文献：
罗伯特·莱姆克奥利弗， 卡南·索朗达拉拉哈恩，《连续素数分布中的意外偏见》，2016年，arXiv：1603.03720 。
用全新的递升算法，证明了素数分成八族，计算出相连素数的分布概率。
证明了素数尾数以1、7、1、3、7、9、3、9为循环节，作不完整的无限循环。计算出在数域无穷大情况下，相邻素数尾数的分布概率。
提出了计算孪生素数、四生素数的一般公式，修正了六素数的定义，给出了包含素数间距，产生K－素数组类型的源头偶数链。
提出了证明孪生素数猜想的新思路。
相连素数、素数尾数、概率、权重、间距、比例。
相连素数的尾数
2016年，美国斯坦福大学的莱姆克奥利弗和索朗达拉拉哈恩考察前4000亿个素数，公布了令人震撼的重大发现。
后一个素数的尾数，会尽量避免与前数相同。
例如，个位为7的素数，更容易跟着个位为9、3或者1的素数，而不是尾数同样为7的素数。
如果素数是完全随机的，后数的尾数就应该与前数无关，1、3、7、9的分布概率均为25%。
大范围的数据检测表明，素数以1、3、7、9四个数字结尾的总体几率大致相同。但出现的顺序却有所“偏好”， 还很不一致。
例如，尾数为3的素数之后，更容易出现尾数为9的素数，而不是1或者7。
为了书写方便，我创造了几个新的符号。
n-m，指尾数为n的素数之后，接尾数为m的素数。P﹙n-m﹚，指尾数为n的素数之后，接尾数为m的素数所占比例。
斯坦福大学统计了前一亿个素数，得到了相邻素数尾数的分布概率，如下：
1-1，P＝4.425%；1-3，P＝7.598%；1-7，P＝7.758%；1-9，P＝5.218%。将它们换算成后续素数中各尾数所占的比例，则是：
P﹙1-1﹚＝17.7%
P﹙1-3﹚＝30.4%
P﹙1-7﹚＝31%
P﹙1-9﹚＝20.9%
3-1，5.910%；3-3，4.167%；3-7，7.172%；3-9，7.753%，换算是：
P﹙3-1﹚＝23.6%
P﹙3-3﹚＝16.7%
P﹙3-7﹚＝28.7%
P﹙3-9﹚＝31%
7-1，6.396%；7-3，6.832%；7-7，4.169%；7-9，7.605%，换算是：
P（7-1﹚＝26.6%
P﹙7-3﹚＝27.3%
P﹙7-7﹚＝16.7%
P﹙7-9﹚＝30.4%
9-1，8.268%；9-3，6.405%；9-7，5.903%；9-9，4.420%，换算是：
P﹙9-1﹚＝33.1%
P﹙9-3﹚＝25.6%
P﹙9-7﹚＝23.6%
P﹙9-9﹚＝17.7%
数据清晰显示，相邻素数尾数相同的概率远远低于25%。
一般认为，沿着数轴前进会由小往大遇到尾数为1、3、7、9的奇数，所以相邻素数的尾数不容易重复。
但这无法解释概率偏差的程度，也无法解释那些“偏好”。
例如，P﹙3-9﹚＝31%，说明以3结尾的素数，后面更容易出现以9结尾的素数，而不是7或者1。
P﹙9-1﹚＝33.1%，说明以9结尾的素数，后续素数有将近三分之一以1结尾。
这种反直觉的奇怪现象，无法解释，只有一百年前哈代与理特伍德的“K元素数猜想“比较接近。但是连猜想本身，也未获得证明。
我刚刚创立一种生成、分解、判定素数的递升算法，挺好地揭示了间距与分布，可以解释、预测、精确计算出素数尾数分布的极限概率。
本文只介绍与尾数相关的部分。
大于30的素数取模于30，余数必定是8个数字之一：1、7、11、13、17、19、23、29。
即：P ≡ 1、7、11、13、17、19、23、29﹙mod 30﹚
也即：P＝30N＋﹙1、7、11、13、17、19、23、29﹚
例如：
9001 ≡ 1（mod 30﹚＝300×30＋1
9007 ≡ 7（mod 30﹚＝300×30＋7
9011 ≡ 11（mod 30﹚＝300×30＋11
9013 ≡ 13（mod 30﹚＝300×30＋13
30N加上1、7、11、13、17、19、23、29之后，生成的素数分成了8个类别。
即八个素数族：
﹙1﹚，﹙7﹚，﹙11﹚，﹙13﹚，﹙17﹚，﹙19﹚，﹙23﹚，﹙29﹚。
引理：狄利克雷定理。
如果整数d≥2，a≠0，d⊥a，那么在算术级数a，a＋d，a＋2d，a＋3d……中，包含着无穷多个素数。
8个类别中，每一类包含的素数都无穷多，而任意素数取模于30后均得到8个固定的小数。所以，它们构成了全体素数。
当然，并非每一个30N都形成了素数，例如91＝3×30＋1就不是。
况且素数间距可以无穷大，并非所有的30N之间都存在素数。例如，素连乘29#和29#＋30之间就没有。
结论1：
素数尾数不是按照1、3、7、9的顺序延伸，而是以1、7、1、3、7、9、3、9为循环节，以逐级递升的30N为阶梯，进行着不完整的无限循环。
例如，30 – 60 – 90 – 120 - 150之间的素数尾数分布如下：
﹙30，60﹚ ：1……7……1……3……7……×……3……9
﹙60，90﹚ ：1……7……1……3……×……9……3……9
﹙90，120﹚ ：×……7……1……3……7……9……3……×
﹙120，150﹚：×……7……1……×……7……9……×……9
数域越大，素数越稀疏。每一个类别形成素数的总体概率趋向了一致，素数尾数的总体分布概率也趋向平均。
8个位置，就是8次生成素数的机会。
对应某一个具体的素数，后面接什么素数被数域环境决定。
例如，在素数353711之后，紧接着 353737、353747、353767 、353777四个尾数均为7的素数。
353737 ≡ 7﹙mod30﹚
353747 ≡ 17﹙mod30﹚
353767 ≡ 7﹙mod30﹚
353777 ≡ 17﹙mod30﹚
在两次循环中，循环节1、7、1、3、7、9、3、9中的1、3、9消失了，353741、353743、353749……等不是素数，被剔除。于是353747、353767 、353777替补上前，占据了它们的位置。
假如不对应具体素数，考察范围无穷大，那么8个位置生成素数的频率均等。
即，8个位置出现素数的概率均等。
证明如下：
由30N加上1、7、11、13、17、19、23、29，生成的8个素数族群加上30的素因子2、3、5，构成了全体素数。每一个族群都无穷大，集合与集合之间，元素可以形成映射关系。
例如，集合﹙7﹚与﹙11﹚。
7对应11，37对应41，67对应71，97对应101……无穷无尽。
取﹙7﹚中的任意一个素数，总能在﹙11﹚中找到一个唯一的素数对应。而且，比它们小的素数也全部实现了一一对应。
说明两个无穷大的集合﹙7﹚与﹙11﹚大小相等，意味着30N＋7和30N＋11生成素数的总量F相等。
当N趋向∞时，F﹙7﹚／N＝F﹙11﹚／N，两类素数发生的频率相等。
引理：伯努力大数定律
n趋向于无穷大，事件发生的频率f／n，将无限接近一次实验发生的概率p。
说明，30N＋7和30N＋11生成素数的概率均等。
扩大证明范围，得出：
在无穷数域的情况下，8个位置出现素数的概率均等。
然而，具体到某一个素数后面会接什么素数，却跟循环节中数字的位置有重要关系。靠前的位置占据了领先优势，加大了统计概率。
在总体概率平均的情况下，由于只统计相邻素数，当第1个位置出现了素数，后续的7个位置不管有没有成功，统统失去了被统计的资格。
换一个角度看。
除了2、3、5，任意素数都会连接八族素数中的一个，概率为100％。循环节中，八个位置生成素数的概率均为1／8。
前一个素数族确定了，后面八族素数按照不完整循环节展开的顺序也确定了。为方便计算，给予循环节8次机会，以确保生成素数。
由于素数的相连是由小到大，循序展开的。第一个位置只要生成素数就会被纳入统计，等于拥有了8次有效机会。
对第二个位置而言，只有第一个位置没有生成素数才可能纳入统计。而8次机会中，第一个位置至少生成了一个素数。所以，它只剩下7次有效机会。
以此类推，第三个位置是6次……第八个位置是1次。
反映到权重上，把第一个位置定为8。
同理，得出第2个位置的权重是7，第3个位置的权重是6，第4个位置的权重是5，第5个位置的权重是4，第6个位置的权重是3，第7个位置的权重是2，第8个位置的权重是1。
在离散情况下，权重即概率。
全体位置的总权重是：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36
按照1、7、1、3、7、9、3、9的循环顺序，数域趋向无穷大时相邻素数的尾数分布概率，也是它们所占的比例。
例如，求尾数为1的素数之后接尾数为3的素数，比例是多少？
循环节中共有两个1，前一个属于﹙1﹚的类别，后一个属于﹙11﹚的类别。对﹙1﹚类别而言，后面第3个和第6个位置是3，权重为6和3；对﹙11﹚类别而言，后面第1个和第4个位置是3，权重为8和5。
平均权重为﹙6＋3＋8＋5﹚／2。
占总权重的比例为﹛﹙6＋3＋8＋5﹚／2﹜／36。
简化计算如下：
P﹙1-1﹚＝﹙7＋1＋3＋1﹚／72＝16.7%
P﹙1-3﹚＝﹙6＋3＋8＋5﹚／72＝30.6%
P﹙1-7﹚＝﹙8＋5＋7＋2﹚／72＝30.5％
P﹙1-9﹚＝﹙4＋2＋6＋4﹚／72＝22.2%
P﹙3-1﹚＝﹙4＋2＋7＋5﹚／72＝25%
P﹙3-3﹚＝﹙6＋1＋4＋1﹚／72＝16.7%
P﹙3-7﹚＝﹙8＋3＋6＋3﹚／72＝27.8％
P﹙3-9﹚＝﹙7＋5＋8＋2﹚／72＝30.5%
P﹙7-1﹚＝﹙8＋2＋5＋3﹚／72＝25%
P﹙7-3﹚＝﹙7＋4＋7＋2﹚／72＝27.8%
P﹙7-7﹚＝﹙6＋1＋4＋1﹚／72＝16.7％
P﹙7-9﹚＝﹙5＋3＋8＋6﹚／72＝30.5%
P﹙9-1﹚＝﹙6＋4＋8＋6﹚／72＝33.3%
P﹙9-3﹚＝﹙8＋3＋5＋2﹚／72＝25%
P﹙9-7﹚＝﹙5＋2＋7＋4﹚／72＝25％
P﹙9-9﹚＝﹙7＋1＋3＋1﹚／72＝16.7%
上面计算出来的数值，与斯坦福大学的统计结果比较，基本上每一项的吻合程度都超过了99％。之所以存在1%的偏差，是因为前1亿个素数的数域还不够大，选择的样本还不够多。
相邻素数为什么不愿意重复尾数？
为什么某些尾数的素数之后，更容易跟着特定尾数的素数？
一切都被概率决定！
结论2：
递升算法计算出来的，是理想状态下的极限值。
素数尾数的分布概率，在每一个阶段都存在波动与偏离。随着数域扩大，样本增多，逐渐靠近极限。
例如，在100以内，P﹙9-1﹚＝40％；在1000以内，P﹙9-1﹚＝28％；在10000以内，P﹙9-1﹚＝34％。
斯坦福大学的统计显示，在前1亿个素数内，P﹙9-1﹚＝33.1%。而递升算法计算出来的极限值，则是：P﹙9-1﹚＝33.3%。
运用递升算法，可以求出任意间隔素数的尾数分布概率。
例如，预测某素数与后面第八个素数尾数相同的概率将大幅度上升。当数域越大，采样越多，效果越明显。
考察300000——320000区间，尾数为1的素数，其后第八个素数尾数也为1的概率，高达31.9％。
相连素数
不过，对尾数的研究混淆了八个素数族，掩盖了真相。
例如P﹙1-3﹚，实际上是﹙1﹚、﹙11﹚与﹙13﹚、﹙23﹚相连的混合结果。
真正具备重大意义的，是相连素数的分布概率，它意味着素数间距。
除了2、3、5，全体素数按照﹙1﹚、﹙7﹚、﹙11﹚、﹙13﹚、﹙17﹚、﹙19﹚、﹙23﹚、﹙29﹚的先后顺序，进行着不完整的无限循环。
以﹙1﹚为例，连接了﹙7﹚、﹙11﹚、﹙13﹚、﹙17﹚、﹙19﹚、﹙23﹚、﹙29﹚、﹙1﹚，权重分别是8、7、6、5、4、3、2、1，总权重为36。
当数域充分大，与﹙1﹚族相连的素数分布将无限趋近如下比例：
P﹙1﹚-﹙7﹚＝8／36＝22·2……％
P﹙1﹚-﹙11﹚＝7／36＝19·4……％
P﹙1﹚-﹙13﹚＝6／36＝16·7……％
P﹙1﹚-﹙17﹚＝5／36＝13·9……％
P﹙1﹚-﹙19﹚＝4／36＝11·1……％
P﹙1﹚-﹙23﹚＝3／36＝8·3……％
P﹙1﹚-﹙29﹚＝2／36＝5·6……％
P﹙1﹚-﹙1﹚＝1／36＝2·8……％
考察数域﹙250000-1850000﹚，每一次扩大十万统计范围。在﹙250000－350000﹚，﹙250000－450000﹚……﹙250000－1850000﹚中，﹙1﹚族素数接各族素数的分布比例如下：
P﹙1﹚-﹙7﹚
29·4％→29·1％→28·7％→28·3％→27·9％→27·8％→27·4％→27·2％→27·2％→
27·3％→27·4％→27·3％→27·0％→27·1％→27·0％→26·9％……
→22·2……％
P﹙1﹚-﹙11﹚
23·1％→21·1％→21·4％→21·0％→21·1％→21·3％→21·4％→21·4％→21·4％→
21·3％→21·2％→21·2％→21·2％→21·0％→20·9％→20·8％……
→19·4……％
P﹙1﹚-﹙13﹚
15·3％→16·7％→16·1％→16·3％→16·3％→16·3％→16·3％→16·2％→16·1％→
16·2％→16·3％→16·2％→16·3％→16·2％→16·2％→16·3％……
→16·7……％
P﹙1﹚-﹙17﹚
10·8％→10·9％→11·7％→12·2％→12·2％→11·7％→11·4％→11·5％→11·5％→
11·5％→11·4％→11·6％→11·7％→11·8％→11·8％→11·8％……
→13·9……％
P﹙1﹚-﹙19﹚
9·5％→9·6％→9·3％→8·9％→8·7％→8·9％→9·1％→9·2％→9·2％
9·1％→9·1％→9·0％→9·0％→9·1％→9·1％→9·1％……
→11·1……％
P﹙1﹚-﹙23﹚
5·7％→6·3％→6·5％→6·9％→6·8％→6·8％→7·0％→7·0％→7·0％→
7·1％→7·2％→7·3％→7·2％→7·2％→7·3％→7·3％……
→8·3……％
P﹙1﹚-﹙29﹚
4·6％→4·5％→4·5％→4·4％→4·6％→4·6％→4·7％→4·8％→4·7％→
4·7％→4·6％→4·6％→4·7％→4·7％→4·8％→4·9％……
→5·6……％
P﹙1﹚-﹙1﹚
1·6％→1·8％→1·8％→2·0％→2·4％→2·6％→2·7％→2·7％→2·9％→
2·8％→2·8％→2·8％→2·9％→2·9％→2·9％→2·9％……
→2·8……％
统计数据和递升算法的预测数值，基本一致。
P﹙1﹚-﹙7﹚与P﹙1﹚-﹙11﹚的初始偏差高达7％和4％，是因为数域不够大，数值小。小数值区域素数密集，靠前位置被选择的概率加大了。
从0开始的几万区间，P﹙1﹚-﹙7﹚超过了30％。
随着数域扩大，相连素数分布概率的波动越来越小了，渐渐逼近理想值。
结论3：
素数不是完全随机的！
它由2、3、5和八个族组成，在无限数域的情况下，族与族相连的分布概率是一个确定的、非随机平均化的常数。
孪生素数
孪生素数的间距为2，除了3、5、7，全部来自﹙11﹚-﹙13﹚，﹙17﹚-﹙19﹚，﹙29﹚－﹙1﹚。
P﹙11﹚-﹙13﹚＝P﹙17﹚-﹙19﹚＝P﹙29﹚－﹙1﹚＝22·2……％。
p与p＋2＋30N相连，当N＝0时是孪生素数。
例如﹙11﹚-﹙13﹚中，41与43是孪生素数，303431连接303463，N＝1。
设p＋2＋0×30的分布概率为P﹙0﹚，p＋2＋1×30的为P﹙1﹚……
则：P﹙11﹚-﹙13﹚＝P﹙0﹚＋P﹙1﹚＋P﹙2﹚＋……
相连素数循环了N＋1次，意味着N次循环失败，p＋x＋30N与p相连。
x为小于30的偶数，是各族素数相连的最小间距。例如，﹙1﹚－﹙29﹚，x＝28；﹙29﹚-﹙1﹚，x＝2。
先看二次循环，以此类推。
从p0至p1，共计9个可能产生素数的位置，权重比例为：9、8、7、6、5、4、3、2、1。由于中间没有素数，p0所占的比例为：9／﹙9＋1﹚＝90％。
考察数域9200000-9300000中的﹙11﹚-﹙13﹚，只有二次循环，数据如下：
P﹙11﹚-﹙13﹚＝23·8％，P0＝91·4％，P1＝8·6％。
数据非常吻合。
假如是三次循环的数域，理论上，P0＝17／﹙17＋9＋1﹚＝63％
考察9300000-9400000，出现了三次循环，数据如下：
P﹙11﹚-﹙13﹚＝25％，P0＝88·3％，P1＝10·6％，P2＝1·1％。
P0的偏差大，在于理论计算中视p1、p2、p3……分布于全数域。实际上随着数域扩大，相连素数的间距拉开，p1、p2、p3……才逐渐出现。
例如，1000以内的素数间距不超过30，P0＝100％，不可能出现二次循环。
前数的累积，导致偏差巨大。
对于从自然数域中截取的小区间，最高循环一般不会分布充分。设其为离群值舍弃，才能够得到接近真实的P0。
像9300000-9400000中，设三次循环为离群值，则理论上的P0＝90％。
通过P0，能够估算孪生素数。
循环的次数为N＋1，令M＝N＋1。
M次循环，权重构成了一个首项为1，公差为8，共计M项的等差数列。
p0的权重为：1＋8﹙M－1﹚＝8M－7
总权重为：M＋4M﹙M－1﹚＝M﹙4M－3﹚
P0＝﹙8M－7﹚／[M﹙4M－3﹚]
上式显示，M越大，P0越小。M趋向于无穷大，P0趋向于0。孪生素数将随着数域的扩大越来越稀少，渐渐接近零。
设素数个数为A，孪生素数的组数为B。
以﹙11﹚、﹙17﹚、﹙29﹚为首的素数，比例接近总数的3／8。分别接﹙13﹚、﹙19﹚、﹙1﹚的概率为8／36，形成最小间距2的比例为P0。
得：B＝A×﹙3／8﹚×﹙8／36﹚P0＝A×P0／12
公式中的P0针对整个自然数域，是N趋向无穷大时的综合情况。针对有限域，加权平均才可以计算出接近真实的结果。
随着数域扩大，素数间距逐渐拉开。末尾区间的最大间距，基本上代表了最高循环次数，可以视为M。
本文按照国际通行标准，舍弃最大值的75％及以上部分为离群值。例如，检测末尾区间得到最高循环次数为17，则M＝11。
当数域充分大，素数间距循环次数逐渐增加。局部未必均衡，但是随着数域向无穷发展，整体将会接近均衡。
假设理想的均衡状态，从0开始，数域的最高循环次数为M。由小到大划分出M个区间，在第一个区间只有1次循环，第二个区间有1次循环和2次循环……第M个区间有1、2……M次循环。
1次循环出现的次数将是最高循环的M倍，2次循环是M－1倍……
因此，P0的加权平均值为：
[MP0＋﹙M－1﹚P1＋……Pm ] ／﹙1＋2＋……＋M﹚
以下数据，由高红卫先生提供。
自然数域1·116E﹢13内共有素数4·18E﹢11个，孪生素数2·07E﹢10组。在末尾6E﹢9的区间，1114241678707——1114241679139形成了最大间距432，循环了15次。
取M＝10，则：
P0＝[1×10＋﹙9／10﹚×9＋……﹙73／370﹚] ／﹙1＋2＋……10﹚＝59·9％
得B＝2·087 E﹢10，偏差为﹢0·8％。
自然数域1·248E﹢13内，共有素数4·655E﹢11个，孪生素数2·296E﹢10组。在末尾6E﹢9的区间，1247877402521——1247877402977形成了最大间距456，循环了16次。
取M＝11，则P0＝57·3％。
得B＝2·223 E﹢10，偏差为﹣3·2％。
自然数域1·26E﹢13内，共有素数4·698E﹢11个，孪生素数2·316E﹢10组。在末尾6E﹢9的区间，1258535916601——1258535917103形成了最大间距502，循环了17次。
取M＝11，则P0＝57·3％。
得B＝2·243 E﹢10，偏差为﹣3·2％。
由三组数据可以看出，除非检测全数域，否则无法获得真实的P0值。然而，知道了A与B就可以倒推出P0，将获得精准结果。
例如，由自然数域1·248E﹢13的P0＝59·2％，推测差不多大小的1·26E﹢13也如此。得B＝2·317E﹢10，偏差仅为﹢0·04％。
例如，估算孪生素数的组合。
四胞胎素数
四胞胎素数指符合﹙p、 p+2、p+6、 p+8﹚的素数组，例如﹙5、7、11、13﹚和﹙11、13、17、19﹚……有的研究将﹙2、3、5、7﹚也列入了。
这是两组孪生素数相连，间距为4，也被称作四生素数。
2、3、5作为初始素数，不属于任何族群。无穷数域，孤证不举。它们对结果产生不了任何影响，未被本文纳入计算。
除了﹙5、7、11、13﹚，符合﹙p、 p+2、p+6、 p+8﹚形式的，只有﹙11﹚-﹙13﹚-﹙17﹚-﹙19﹚。
经典概率中，可能性是独立的。
三个事件发生的概率为A、B、C，共同发生的概率就是A×B×C。假如三个事件形成了条件制约，共同发生的概率将小于A×B×C。
自然数域中，前数决定了后数。各种可能性相互干涉，没有完全独立的存在。每一个数的呈现，都是概率叠加的结果。
设数域中有素数A个，孪生素数B组，四胞胎素数C组。
根据递升算法，把﹙11﹚-﹙13﹚视为整体，则其对﹙17﹚的综合权重为﹙7＋8﹚×﹙7＋8﹚／﹙8＋8﹚，三者对﹙19﹚的权重为6、7、8。
平均所有权重，得：
C＝﹙B／3﹚×[﹙7＋8﹚﹙7＋8﹚／﹙8＋8﹚／36／2]P0×[﹙6＋7＋8﹚／36／3]P0
＝﹙175／13824﹚BP0P0
＝﹙175／96﹚BBB／AA
公式显示，随着数域扩大，四胞胎的比例将比孪生素数下降得更快。
以下数据由“月亮在营业”先生提供，估值C由上式计算出来。
数域：4·20E﹢7
A：2·54E﹢6，B：2·05E﹢5，C：2·49E﹢3，估值C：2·43E﹢3
数域：1·68E﹢8
A：9·39E﹢6，B：6·96E﹢5，C：7·05E﹢3，估值C：7·0E﹢3
数域：1·34E﹢9
A：6·72E﹢7，B：4·46E﹢6，C：3·58E﹢4，估值C∶3·58E﹢4
数域：1·07E﹢10
A：4·87E﹢8，B：2·92E﹢7，C：1·91E﹢5，估值C：1·91E﹢5
数域：6·87E﹢11
A：2·62E﹢10，B：1·32E﹢9，C：6·11E﹢6，估值C：6·11E﹢6
偏差为：﹣2·4％，﹣0·7％，0％，0％，0％。
扩大范围，提高精度。
以下的A、B、C值来自公开数据，估值C由上式计算出来。
数域：1·25E﹢15
A：3·70587E﹢13，B：1·45207E﹢12，C：4·034E﹢9，估值C：4·064E﹢9
数域：2·5E﹢15
A：7·26235E﹢13，B：2·78812E﹢12，C：7·435E﹢9，估值C：7·491E﹢9
数域：5E﹢15
A：1·42377E﹢14，B：5·35788E﹢12，C：1·373E﹢10，估值C∶1·383E﹢10
数域：1E﹢16
A：2·79238E﹢14，B：1·03042E﹢13，C：2·538E﹢10，估值C：2·558E﹢10
数域：2E﹢16
A：5·47863E﹢14，B：1·98318E﹢13，C：4·7E﹢10，估值C：4·737E﹢10
对五个自然数域的理论计算，与实际情况完美吻合，偏差仅为：
﹢0·74％，﹢0·75％，﹢0·73％，﹢0·79％，﹢0·79％
有限域的三类孪生素数并不精确等于总数的1／3，BBB连乘三次，放大了偏差。
例如在1万的数域中，﹙29﹚-﹙1﹚占了孪生素数总数的36·1％，在5万时的占比为32·4％，在20万时的占比为32·7％。
六素数
六素数，指间距为6的素数组。
以四元组为例，来自﹙1﹚-﹙7﹚-﹙13﹚-﹙19﹚和﹙11﹚-﹙17﹚-﹙23﹚-﹙29﹚。例如， ﹙41，47，53，59﹚，﹙61，67，73，79﹚……
从递升算法的角度看，在﹙19﹚和﹙29﹚之后，相连素数的间距由小到大分别是4、10……和2、8……所以，六素数不可能有五元组。
从等差数列的角度看，连续5个数必有一个被5整除，唯一的五元组是﹙5，11，17，23，29﹚。
我觉得，﹙5，11，17，23﹚和﹙5，11，17，23，29﹚属于孤证，将它们列入六素数是不科学的。
K-素数组
K-素数组指p，p＋b1……p＋bk－1是K个相连素数，b1＜b2……＜bk－1，不存在相同长度的素数序列q使得qk－1－q0＜bk－1。
K-素数组的类型是﹙b1，b2……bk－1﹚，当bk－1取最小值时称为紧凑类型﹙tight﹚。
除了2、3、5，全体素数按照﹙1﹚、﹙7﹚、﹙11﹚、﹙13﹚、﹙17﹚、﹙19﹚、﹙23﹚、﹙29﹚的顺序，作不完整的无限循环。
除了2、3、5，以最小族间距为循环节，无限延伸的偶数长链：
6、4、2、4、2、4、6、2、6、4、2、4、2、4、6、2、6、4、2……
我称为之“母链”，包含了所有素数的间距，无论相连或者不相连。任意两个素数的间距，是所处长链位置的间距之和。
例如，9907、9923、9929分别属于﹙7﹚、﹙23﹚、﹙29﹚，对应的位置为：
9907＋4＋2＋4＋2＋4∶9923＋6∶9929
对应的母链片段为：4、2、4、2、4、6，前四个位置被合数占据。
母链也是全部K-素数组类型的源头。b等于最小族间距之和，素数组最紧凑。当中间环节缺失，便产生了其它类型。
例如，最紧凑的12-素数组。
﹙7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47﹚
当然，把3和5列入会得到另外的结果。但它们属于孤证，本文不作讨论。
例如，以﹙11﹚开始的素数组，理论上最小的素数间距是：
2、4、2、4、6、2、6、4、2、4、2、4、6、2、6、4、2、4、2、4、6、2……
把间距相加，对应的类型是：
2，6，8，12，18，20，26，30，32，36，38，42，48，50，56，60，62，66……
目前发现的最大17-素数组，p＝2845372542509911868266811属于﹙11﹚，类型是：
﹙6，8，12，18，20，26，32，36，38，42，48，50，56，60，62，66﹚
与最紧凑的类型比较，缺少了b＝2、30。
衍生意义
前面证明了，在无穷数域的情况下，8族位置出现素数的概率均等。
假设进一步完成关键证明，针对素数p，p＋x＋30N也是素数的概率均等，将推导出一系列重要成果。
例如，孪生素数猜想。
尽管p0、p1、p2……出现的概率均等，但只统计相连素数，靠前的位置将具备更大权重，加大了选择概率。
得：P﹙0﹚＞P﹙1﹚＞P﹙2﹚……
如果孪生素数有限，便存在着最大值。﹙11﹚-﹙13﹚，﹙17﹚-﹙19﹚，﹙29﹚－﹙1﹚从最大值开始，P0＝0。
由于素数无穷多，各族素数的集合大小相等。从最大值开始统计，P﹙11﹚-﹙13﹚、P﹙17﹚-﹙19﹚、P﹙29﹚－﹙1﹚大于零。
即：P＝P﹙0﹚＋P﹙1﹚＋P﹙2﹚……＞0
所以，P﹙0﹚不可能等于0，孪生素数有无穷多。
总之，如果p＋x＋30N的假设成立，还可以证明：
1，相连素数的间距为全体偶数。
2，每一个偶数间距，都存在着无穷多的相连素数。
建议：
古典观念里，1也算素数。由于分解素因子时需要不厌其烦地附加一句“除了1”，最终被移出素数行列。
本文多次提到的2、3、5，也面临着相同情况。
我觉得，把2、3、5列为“特殊素数”才好，正如把0列为特殊偶数。相应地，孪生素数、四生素数、六素数、K-素数组……的定义，也将被修正。
以后对素数的研究，就可以简化为八个族了。
题外话：
一位教授问我，为什么是30？
我说，这是由十进制的特点决定。
对素数取模于2，得到2n±1，范围太空泛了。
取模于2×3＝6，得到6n±1，开始具备研究价值。例如，素数的数量以36n﹙n＋1﹚为单位，呈波浪形增加。
取模于2×3×5＝30，八个素数族清晰地显露了出来。
继续下去，是否得到更好结果？例如，取模于2×3×5×7……
答案是否定的。
那其实是把八族素数切割成了细碎片段，反而难见全貌。
本文创立的素数权重模型，其实可以运用于生活中所有的排序选择。如会议轮值，竞选投票，晋升通道，城市扩张，金融投资，甚至宴席敬酒，照相站位，外交政策，自然现象……
参考文献：
罗伯特·莱姆克奥利弗， 卡南·索朗达拉拉哈恩，《连续素数分布中的意外偏见》，2016年，arXiv：1603.03720 。
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/2+2/3-4/15=15/30+20/30-8/30=27/30
2020-09-02 回答者: hewaglan6 1个回答
三分之二
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先将2/3分子分母同乘以2得4/6 同理将3/2分子分母同乘以3得9/6 则2/3+3/2=4/6+9/6=13/6
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3又3分之2等于（11/3）
3又3分之2
=3+2/3
=9/3+2/3
=11/3
3又3分之2
=3+2/3
=9/3+2/3
=11/3
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摘要：
用全新的递升算法，证明了素数分成八族，计算出相连素数的分布概率。
证明了素数尾数以1、7、1、3、7、9、3、9为循环节，作不完整的无限循环。计算出在数域无穷大情况下，相邻素数尾数的分布概率。
提出了计算孪生素数、四生素数的一般公式，修正了六素数的定义，给出了包含素数间距，产生K－素数组类型的源头偶数链。
提出了证明孪生素数猜想的新思路。
相连素数、素数尾数、概率、权重、间距、比例。
相连素数的尾数
2016年，美国斯坦福大学的莱姆克奥利弗和索朗达拉拉哈恩考察前4000亿个素数，公布了令人震撼的重大发现。
后一个素数的尾数，会尽量避免与前数相同。
例如，个位为7的素数，更容易跟着个位为9、3或者1的素数，而不是尾数同样为7的素数。
如果素数是完全随机的，后数的尾数就应该与前数无关，1、3、7、9的分布概率均为25%。
大范围的数据检测表明，素数以1、3、7、9四个数字结尾的总体几率大致相同。但出现的顺序却有所“偏好”， 还很不一致。
例如，尾数为3的素数之后，更容易出现尾数为9的素数，而不是1或者7。
为了书写方便，我创造了几个新的符号。
n-m，指尾数为n的素数之后，接尾数为m的素数。P﹙n-m﹚，指尾数为n的素数之后，接尾数为m的素数所占比例。
斯坦福大学统计了前一亿个素数，得到了相邻素数尾数的分布概率，如下：
1-1，P＝4.425%；1-3，P＝7.598%；1-7，P＝7.758%；1-9，P＝5.218%。将它们换算成后续素数中各尾数所占的比例，则是：
P﹙1-1﹚＝17.7%
P﹙1-3﹚＝30.4%
P﹙1-7﹚＝31%
P﹙1-9﹚＝20.9%
3-1，5.910%；3-3，4.167%；3-7，7.172%；3-9，7.753%，换算是：
P﹙3-1﹚＝23.6%
P﹙3-3﹚＝16.7%
P﹙3-7﹚＝28.7%
P﹙3-9﹚＝31%
7-1，6.396%；7-3，6.832%；7-7，4.169%；7-9，7.605%，换算是：
P（7-1﹚＝26.6%
P﹙7-3﹚＝27.3%
P﹙7-7﹚＝16.7%
P﹙7-9﹚＝30.4%
9-1，8.268%；9-3，6.405%；9-7，5.903%；9-9，4.420%，换算是：
P﹙9-1﹚＝33.1%
P﹙9-3﹚＝25.6%
P﹙9-7﹚＝23.6%
P﹙9-9﹚＝17.7%
数据清晰显示，相邻素数尾数相同的概率远远低于25%。
一般认为，沿着数轴前进会由小往大遇到尾数为1、3、7、9的奇数，所以相邻素数的尾数不容易重复。
但这无法解释概率偏差的程度，也无法解释那些“偏好”。
例如，P﹙3-9﹚＝31%，说明以3结尾的素数，后面更容易出现以9结尾的素数，而不是7或者1。
P﹙9-1﹚＝33.1%，说明以9结尾的素数，后续素数有将近三分之一以1结尾。
这种反直觉的奇怪现象，无法解释，只有一百年前哈代与理特伍德的“K元素数猜想“比较接近。但是连猜想本身，也未获得证明。
我刚刚创立一种生成、分解、判定素数的递升算法，挺好地揭示了间距与分布，可以解释、预测、精确计算出素数尾数分布的极限概率。
本文只介绍与尾数相关的部分。
大于30的素数取模于30，余数必定是8个数字之一：1、7、11、13、17、19、23、29。
即：P ≡ 1、7、11、13、17、19、23、29﹙mod 30﹚
也即：P＝30N＋﹙1、7、11、13、17、19、23、29﹚
例如：
9001 ≡ 1（mod 30﹚＝300×30＋1
9007 ≡ 7（mod 30﹚＝300×30＋7
9011 ≡ 11（mod 30﹚＝300×30＋11
9013 ≡ 13（mod 30﹚＝300×30＋13
30N加上1、7、11、13、17、19、23、29之后，生成的素数分成了8个类别。
即八个素数族：
﹙1﹚，﹙7﹚，﹙11﹚，﹙13﹚，﹙17﹚，﹙19﹚，﹙23﹚，﹙29﹚。
引理：狄利克雷定理。
如果整数d≥2，a≠0，d⊥a，那么在算术级数a，a＋d，a＋2d，a＋3d……中，包含着无穷多个素数。
8个类别中，每一类包含的素数都无穷多，而任意素数取模于30后均得到8个固定的小数。所以，它们构成了全体素数。
当然，并非每一个30N都形成了素数，例如91＝3×30＋1就不是。
况且素数间距可以无穷大，并非所有的30N之间都存在素数。例如，素连乘29#和29#＋30之间就没有。
结论1：
素数尾数不是按照1、3、7、9的顺序延伸，而是以1、7、1、3、7、9、3、9为循环节，以逐级递升的30N为阶梯，进行着不完整的无限循环。
例如，30 – 60 – 90 – 120 - 150之间的素数尾数分布如下：
﹙30，60﹚ ：1……7……1……3……7……×……3……9
﹙60，90﹚ ：1……7……1……3……×……9……3……9
﹙90，120﹚ ：×……7……1……3……7……9……3……×
﹙120，150﹚：×……7……1……×……7……9……×……9
数域越大，素数越稀疏。每一个类别形成素数的总体概率趋向了一致，素数尾数的总体分布概率也趋向平均。
8个位置，就是8次生成素数的机会。
对应某一个具体的素数，后面接什么素数被数域环境决定。
例如，在素数353711之后，紧接着 353737、353747、353767 、353777四个尾数均为7的素数。
353737 ≡ 7﹙mod30﹚
353747 ≡ 17﹙mod30﹚
353767 ≡ 7﹙mod30﹚
353777 ≡ 17﹙mod30﹚
在两次循环中，循环节1、7、1、3、7、9、3、9中的1、3、9消失了，353741、353743、353749……等不是素数，被剔除。于是353747、353767 、353777替补上前，占据了它们的位置。
假如不对应具体素数，考察范围无穷大，那么8个位置生成素数的频率均等。
即，8个位置出现素数的概率均等。
证明如下：
由30N加上1、7、11、13、17、19、23、29，生成的8个素数族群加上30的素因子2、3、5，构成了全体素数。每一个族群都无穷大，集合与集合之间，元素可以形成映射关系。
例如，集合﹙7﹚与﹙11﹚。
7对应11，37对应41，67对应71，97对应101……无穷无尽。
取﹙7﹚中的任意一个素数，总能在﹙11﹚中找到一个唯一的素数对应。而且，比它们小的素数也全部实现了一一对应。
说明两个无穷大的集合﹙7﹚与﹙11﹚大小相等，意味着30N＋7和30N＋11生成素数的总量F相等。
当N趋向∞时，F﹙7﹚／N＝F﹙11﹚／N，两类素数发生的频率相等。
引理：伯努力大数定律
n趋向于无穷大，事件发生的频率f／n，将无限接近一次实验发生的概率p。
说明，30N＋7和30N＋11生成素数的概率均等。
扩大证明范围，得出：
在无穷数域的情况下，8个位置出现素数的概率均等。
然而，具体到某一个素数后面会接什么素数，却跟循环节中数字的位置有重要关系。靠前的位置占据了领先优势，加大了统计概率。
在总体概率平均的情况下，由于只统计相邻素数，当第1个位置出现了素数，后续的7个位置不管有没有成功，统统失去了被统计的资格。
换一个角度看。
除了2、3、5，任意素数都会连接八族素数中的一个，概率为100％。循环节中，八个位置生成素数的概率均为1／8。
前一个素数族确定了，后面八族素数按照不完整循环节展开的顺序也确定了。为方便计算，给予循环节8次机会，以确保生成素数。
由于素数的相连是由小到大，循序展开的。第一个位置只要生成素数就会被纳入统计，等于拥有了8次有效机会。
对第二个位置而言，只有第一个位置没有生成素数才可能纳入统计。而8次机会中，第一个位置至少生成了一个素数。所以，它只剩下7次有效机会。
以此类推，第三个位置是6次……第八个位置是1次。
反映到权重上，把第一个位置定为8。
同理，得出第2个位置的权重是7，第3个位置的权重是6，第4个位置的权重是5，第5个位置的权重是4，第6个位置的权重是3，第7个位置的权重是2，第8个位置的权重是1。
在离散情况下，权重即概率。
全体位置的总权重是：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36
按照1、7、1、3、7、9、3、9的循环顺序，数域趋向无穷大时相邻素数的尾数分布概率，也是它们所占的比例。
例如，求尾数为1的素数之后接尾数为3的素数，比例是多少？
循环节中共有两个1，前一个属于﹙1﹚的类别，后一个属于﹙11﹚的类别。对﹙1﹚类别而言，后面第3个和第6个位置是3，权重为6和3；对﹙11﹚类别而言，后面第1个和第4个位置是3，权重为8和5。
平均权重为﹙6＋3＋8＋5﹚／2。
占总权重的比例为﹛﹙6＋3＋8＋5﹚／2﹜／36。
简化计算如下：
P﹙1-1﹚＝﹙7＋1＋3＋1﹚／72＝16.7%
P﹙1-3﹚＝﹙6＋3＋8＋5﹚／72＝30.6%
P﹙1-7﹚＝﹙8＋5＋7＋2﹚／72＝30.5％
P﹙1-9﹚＝﹙4＋2＋6＋4﹚／72＝22.2%
P﹙3-1﹚＝﹙4＋2＋7＋5﹚／72＝25%
P﹙3-3﹚＝﹙6＋1＋4＋1﹚／72＝16.7%
P﹙3-7﹚＝﹙8＋3＋6＋3﹚／72＝27.8％
P﹙3-9﹚＝﹙7＋5＋8＋2﹚／72＝30.5%
P﹙7-1﹚＝﹙8＋2＋5＋3﹚／72＝25%
P﹙7-3﹚＝﹙7＋4＋7＋2﹚／72＝27.8%
P﹙7-7﹚＝﹙6＋1＋4＋1﹚／72＝16.7％
P﹙7-9﹚＝﹙5＋3＋8＋6﹚／72＝30.5%
P﹙9-1﹚＝﹙6＋4＋8＋6﹚／72＝33.3%
P﹙9-3﹚＝﹙8＋3＋5＋2﹚／72＝25%
P﹙9-7﹚＝﹙5＋2＋7＋4﹚／72＝25％
P﹙9-9﹚＝﹙7＋1＋3＋1﹚／72＝16.7%
上面计算出来的数值，与斯坦福大学的统计结果比较，基本上每一项的吻合程度都超过了99％。之所以存在1%的偏差，是因为前1亿个素数的数域还不够大，选择的样本还不够多。
相邻素数为什么不愿意重复尾数？
为什么某些尾数的素数之后，更容易跟着特定尾数的素数？
一切都被概率决定！
结论2：
递升算法计算出来的，是理想状态下的极限值。
素数尾数的分布概率，在每一个阶段都存在波动与偏离。随着数域扩大，样本增多，逐渐靠近极限。
例如，在100以内，P﹙9-1﹚＝40％；在1000以内，P﹙9-1﹚＝28％；在10000以内，P﹙9-1﹚＝34％。
斯坦福大学的统计显示，在前1亿个素数内，P﹙9-1﹚＝33.1%。而递升算法计算出来的极限值，则是：P﹙9-1﹚＝33.3%。
运用递升算法，可以求出任意间隔素数的尾数分布概率。
例如，预测某素数与后面第八个素数尾数相同的概率将大幅度上升。当数域越大，采样越多，效果越明显。
考察300000——320000区间，尾数为1的素数，其后第八个素数尾数也为1的概率，高达31.9％。
相连素数
不过，对尾数的研究混淆了八个素数族，掩盖了真相。
例如P﹙1-3﹚，实际上是﹙1﹚、﹙11﹚与﹙13﹚、﹙23﹚相连的混合结果。
真正具备重大意义的，是相连素数的分布概率，它意味着素数间距。
除了2、3、5，全体素数按照﹙1﹚、﹙7﹚、﹙11﹚、﹙13﹚、﹙17﹚、﹙19﹚、﹙23﹚、﹙29﹚的先后顺序，进行着不完整的无限循环。
以﹙1﹚为例，连接了﹙7﹚、﹙11﹚、﹙13﹚、﹙17﹚、﹙19﹚、﹙23﹚、﹙29﹚、﹙1﹚，权重分别是8、7、6、5、4、3、2、1，总权重为36。
当数域充分大，与﹙1﹚族相连的素数分布将无限趋近如下比例：
P﹙1﹚-﹙7﹚＝8／36＝22·2……％
P﹙1﹚-﹙11﹚＝7／36＝19·4……％
P﹙1﹚-﹙13﹚＝6／36＝16·7……％
P﹙1﹚-﹙17﹚＝5／36＝13·9……％
P﹙1﹚-﹙19﹚＝4／36＝11·1……％
P﹙1﹚-﹙23﹚＝3／36＝8·3……％
P﹙1﹚-﹙29﹚＝2／36＝5·6……％
P﹙1﹚-﹙1﹚＝1／36＝2·8……％
考察数域﹙250000-1850000﹚，每一次扩大十万统计范围。在﹙250000－350000﹚，﹙250000－450000﹚……﹙250000－1850000﹚中，﹙1﹚族素数接各族素数的分布比例如下：
P﹙1﹚-﹙7﹚
29·4％→29·1％→28·7％→28·3％→27·9％→27·8％→27·4％→27·2％→27·2％→
27·3％→27·4％→27·3％→27·0％→27·1％→27·0％→26·9％……
→22·2……％
P﹙1﹚-﹙11﹚
23·1％→21·1％→21·4％→21·0％→21·1％→21·3％→21·4％→21·4％→21·4％→
21·3％→21·2％→21·2％→21·2％→21·0％→20·9％→20·8％……
→19·4……％
P﹙1﹚-﹙13﹚
15·3％→16·7％→16·1％→16·3％→16·3％→16·3％→16·3％→16·2％→16·1％→
16·2％→16·3％→16·2％→16·3％→16·2％→16·2％→16·3％……
→16·7……％
P﹙1﹚-﹙17﹚
10·8％→10·9％→11·7％→12·2％→12·2％→11·7％→11·4％→11·5％→11·5％→
11·5％→11·4％→11·6％→11·7％→11·8％→11·8％→11·8％……
→13·9……％
P﹙1﹚-﹙19﹚
9·5％→9·6％→9·3％→8·9％→8·7％→8·9％→9·1％→9·2％→9·2％
9·1％→9·1％→9·0％→9·0％→9·1％→9·1％→9·1％……
→11·1……％
P﹙1﹚-﹙23﹚
5·7％→6·3％→6·5％→6·9％→6·8％→6·8％→7·0％→7·0％→7·0％→
7·1％→7·2％→7·3％→7·2％→7·2％→7·3％→7·3％……
→8·3……％
P﹙1﹚-﹙29﹚
4·6％→4·5％→4·5％→4·4％→4·6％→4·6％→4·7％→4·8％→4·7％→
4·7％→4·6％→4·6％→4·7％→4·7％→4·8％→4·9％……
→5·6……％
P﹙1﹚-﹙1﹚
1·6％→1·8％→1·8％→2·0％→2·4％→2·6％→2·7％→2·7％→2·9％→
2·8％→2·8％→2·8％→2·9％→2·9％→2·9％→2·9％……
→2·8……％
统计数据和递升算法的预测数值，基本一致。
P﹙1﹚-﹙7﹚与P﹙1﹚-﹙11﹚的初始偏差高达7％和4％，是因为数域不够大，数值小。小数值区域素数密集，靠前位置被选择的概率加大了。
从0开始的几万区间，P﹙1﹚-﹙7﹚超过了30％。
随着数域扩大，相连素数分布概率的波动越来越小了，渐渐逼近理想值。
结论3：
素数不是完全随机的！
它由2、3、5和八个族组成，在无限数域的情况下，族与族相连的分布概率是一个确定的、非随机平均化的常数。
孪生素数
孪生素数的间距为2，除了3、5、7，全部来自﹙11﹚-﹙13﹚，﹙17﹚-﹙19﹚，﹙29﹚－﹙1﹚。
P﹙11﹚-﹙13﹚＝P﹙17﹚-﹙19﹚＝P﹙29﹚－﹙1﹚＝22·2……％。
p与p＋2＋30N相连，当N＝0时是孪生素数。
例如﹙11﹚-﹙13﹚中，41与43是孪生素数，303431连接303463，N＝1。
设p＋2＋0×30的分布概率为P﹙0﹚，p＋2＋1×30的为P﹙1﹚……
则：P﹙11﹚-﹙13﹚＝P﹙0﹚＋P﹙1﹚＋P﹙2﹚＋……
相连素数循环了N＋1次，意味着N次循环失败，p＋x＋30N与p相连。
x为小于30的偶数，是各族素数相连的最小间距。例如，﹙1﹚－﹙29﹚，x＝28；﹙29﹚-﹙1﹚，x＝2。
先看二次循环，以此类推。
从p0至p1，共计9个可能产生素数的位置，权重比例为：9、8、7、6、5、4、3、2、1。由于中间没有素数，p0所占的比例为：9／﹙9＋1﹚＝90％。
考察数域9200000-9300000中的﹙11﹚-﹙13﹚，只有二次循环，数据如下：
P﹙11﹚-﹙13﹚＝23·8％，P0＝91·4％，P1＝8·6％。
数据非常吻合。
假如是三次循环的数域，理论上，P0＝17／﹙17＋9＋1﹚＝63％
考察9300000-9400000，出现了三次循环，数据如下：
P﹙11﹚-﹙13﹚＝25％，P0＝88·3％，P1＝10·6％，P2＝1·1％。
P0的偏差大，在于理论计算中视p1、p2、p3……分布于全数域。实际上随着数域扩大，相连素数的间距拉开，p1、p2、p3……才逐渐出现。
例如，1000以内的素数间距不超过30，P0＝100％，不可能出现二次循环。
前数的累积，导致偏差巨大。
对于从自然数域中截取的小区间，最高循环一般不会分布充分。设其为离群值舍弃，才能够得到接近真实的P0。
像9300000-9400000中，设三次循环为离群值，则理论上的P0＝90％。
通过P0，能够估算孪生素数。
循环的次数为N＋1，令M＝N＋1。
M次循环，权重构成了一个首项为1，公差为8，共计M项的等差数列。
p0的权重为：1＋8﹙M－1﹚＝8M－7
总权重为：M＋4M﹙M－1﹚＝M﹙4M－3﹚
P0＝﹙8M－7﹚／[M﹙4M－3﹚]
上式显示，M越大，P0越小。M趋向于无穷大，P0趋向于0。孪生素数将随着数域的扩大越来越稀少，渐渐接近零。
设素数个数为A，孪生素数的组数为B。
以﹙11﹚、﹙17﹚、﹙29﹚为首的素数，比例接近总数的3／8。分别接﹙13﹚、﹙19﹚、﹙1﹚的概率为8／36，形成最小间距2的比例为P0。
得：B＝A×﹙3／8﹚×﹙8／36﹚P0＝A×P0／12
公式中的P0针对整个自然数域，是N趋向无穷大时的综合情况。针对有限域，加权平均才可以计算出接近真实的结果。
随着数域扩大，素数间距逐渐拉开。末尾区间的最大间距，基本上代表了最高循环次数，可以视为M。
本文按照国际通行标准，舍弃最大值的75％及以上部分为离群值。例如，检测末尾区间得到最高循环次数为17，则M＝11。
当数域充分大，素数间距循环次数逐渐增加。局部未必均衡，但是随着数域向无穷发展，整体将会接近均衡。
假设理想的均衡状态，从0开始，数域的最高循环次数为M。由小到大划分出M个区间，在第一个区间只有1次循环，第二个区间有1次循环和2次循环……第M个区间有1、2……M次循环。
1次循环出现的次数将是最高循环的M倍，2次循环是M－1倍……
因此，P0的加权平均值为：
[MP0＋﹙M－1﹚P1＋……Pm ] ／﹙1＋2＋……＋M﹚
以下数据，由高红卫先生提供。
自然数域1·116E﹢13内共有素数4·18E﹢11个，孪生素数2·07E﹢10组。在末尾6E﹢9的区间，1114241678707——1114241679139形成了最大间距432，循环了15次。
取M＝10，则：
P0＝[1×10＋﹙9／10﹚×9＋……﹙73／370﹚] ／﹙1＋2＋……10﹚＝59·9％
得B＝2·087 E﹢10，偏差为﹢0·8％。
自然数域1·248E﹢13内，共有素数4·655E﹢11个，孪生素数2·296E﹢10组。在末尾6E﹢9的区间，1247877402521——1247877402977形成了最大间距456，循环了16次。
取M＝11，则P0＝57·3％。
得B＝2·223 E﹢10，偏差为﹣3·2％。
自然数域1·26E﹢13内，共有素数4·698E﹢11个，孪生素数2·316E﹢10组。在末尾6E﹢9的区间，1258535916601——1258535917103形成了最大间距502，循环了17次。
取M＝11，则P0＝57·3％。
得B＝2·243 E﹢10，偏差为﹣3·2％。
由三组数据可以看出，除非检测全数域，否则无法获得真实的P0值。然而，知道了A与B就可以倒推出P0，将获得精准结果。
例如，由自然数域1·248E﹢13的P0＝59·2％，推测差不多大小的1·26E﹢13也如此。得B＝2·317E﹢10，偏差仅为﹢0·04％。
例如，估算孪生素数的组合。
四胞胎素数
四胞胎素数指符合﹙p、 p+2、p+6、 p+8﹚的素数组，例如﹙5、7、11、13﹚和﹙11、13、17、19﹚……有的研究将﹙2、3、5、7﹚也列入了。
这是两组孪生素数相连，间距为4，也被称作四生素数。
2、3、5作为初始素数，不属于任何族群。无穷数域，孤证不举。它们对结果产生不了任何影响，未被本文纳入计算。
除了﹙5、7、11、13﹚，符合﹙p、 p+2、p+6、 p+8﹚形式的，只有﹙11﹚-﹙13﹚-﹙17﹚-﹙19﹚。
经典概率中，可能性是独立的。
三个事件发生的概率为A、B、C，共同发生的概率就是A×B×C。假如三个事件形成了条件制约，共同发生的概率将小于A×B×C。
自然数域中，前数决定了后数。各种可能性相互干涉，没有完全独立的存在。每一个数的呈现，都是概率叠加的结果。
设数域中有素数A个，孪生素数B组，四胞胎素数C组。
根据递升算法，把﹙11﹚-﹙13﹚视为整体，则其对﹙17﹚的综合权重为﹙7＋8﹚×﹙7＋8﹚／﹙8＋8﹚，三者对﹙19﹚的权重为6、7、8。
平均所有权重，得：
C＝﹙B／3﹚×[﹙7＋8﹚﹙7＋8﹚／﹙8＋8﹚／36／2]P0×[﹙6＋7＋8﹚／36／3]P0
＝﹙175／13824﹚BP0P0
＝﹙175／96﹚BBB／AA
公式显示，随着数域扩大，四胞胎的比例将比孪生素数下降得更快。
以下数据由“月亮在营业”先生提供，估值C由上式计算出来。
数域：4·20E﹢7
A：2·54E﹢6，B：2·05E﹢5，C：2·49E﹢3，估值C：2·43E﹢3
数域：1·68E﹢8
A：9·39E﹢6，B：6·96E﹢5，C：7·05E﹢3，估值C：7·0E﹢3
数域：1·34E﹢9
A：6·72E﹢7，B：4·46E﹢6，C：3·58E﹢4，估值C∶3·58E﹢4
数域：1·07E﹢10
A：4·87E﹢8，B：2·92E﹢7，C：1·91E﹢5，估值C：1·91E﹢5
数域：6·87E﹢11
A：2·62E﹢10，B：1·32E﹢9，C：6·11E﹢6，估值C：6·11E﹢6
偏差为：﹣2·4％，﹣0·7％，0％，0％，0％。
扩大范围，提高精度。
以下的A、B、C值来自公开数据，估值C由上式计算出来。
数域：1·25E﹢15
A：3·70587E﹢13，B：1·45207E﹢12，C：4·034E﹢9，估值C：4·064E﹢9
数域：2·5E﹢15
A：7·26235E﹢13，B：2·78812E﹢12，C：7·435E﹢9，估值C：7·491E﹢9
数域：5E﹢15
A：1·42377E﹢14，B：5·35788E﹢12，C：1·373E﹢10，估值C∶1·383E﹢10
数域：1E﹢16
A：2·79238E﹢14，B：1·03042E﹢13，C：2·538E﹢10，估值C：2·558E﹢10
数域：2E﹢16
A：5·47863E﹢14，B：1·98318E﹢13，C：4·7E﹢10，估值C：4·737E﹢10
对五个自然数域的理论计算，与实际情况完美吻合，偏差仅为：
﹢0·74％，﹢0·75％，﹢0·73％，﹢0·79％，﹢0·79％
有限域的三类孪生素数并不精确等于总数的1／3，BBB连乘三次，放大了偏差。
例如在1万的数域中，﹙29﹚-﹙1﹚占了孪生素数总数的36·1％，在5万时的占比为32·4％，在20万时的占比为32·7％。
六素数
六素数，指间距为6的素数组。
以四元组为例，来自﹙1﹚-﹙7﹚-﹙13﹚-﹙19﹚和﹙11﹚-﹙17﹚-﹙23﹚-﹙29﹚。例如， ﹙41，47，53，59﹚，﹙61，67，73，79﹚……
从递升算法的角度看，在﹙19﹚和﹙29﹚之后，相连素数的间距由小到大分别是4、10……和2、8……所以，六素数不可能有五元组。
从等差数列的角度看，连续5个数必有一个被5整除，唯一的五元组是﹙5，11，17，23，29﹚。
我觉得，﹙5，11，17，23﹚和﹙5，11，17，23，29﹚属于孤证，将它们列入六素数是不科学的。
K-素数组
K-素数组指p，p＋b1……p＋bk－1是K个相连素数，b1＜b2……＜bk－1，不存在相同长度的素数序列q使得qk－1－q0＜bk－1。
K-素数组的类型是﹙b1，b2……bk－1﹚，当bk－1取最小值时称为紧凑类型﹙tight﹚。
除了2、3、5，全体素数按照﹙1﹚、﹙7﹚、﹙11﹚、﹙13﹚、﹙17﹚、﹙19﹚、﹙23﹚、﹙29﹚的顺序，作不完整的无限循环。
除了2、3、5，以最小族间距为循环节，无限延伸的偶数长链：
6、4、2、4、2、4、6、2、6、4、2、4、2、4、6、2、6、4、2……
我称为之“母链”，包含了所有素数的间距，无论相连或者不相连。任意两个素数的间距，是所处长链位置的间距之和。
例如，9907、9923、9929分别属于﹙7﹚、﹙23﹚、﹙29﹚，对应的位置为：
9907＋4＋2＋4＋2＋4∶9923＋6∶9929
对应的母链片段为：4、2、4、2、4、6，前四个位置被合数占据。
母链也是全部K-素数组类型的源头。b等于最小族间距之和，素数组最紧凑。当中间环节缺失，便产生了其它类型。
例如，最紧凑的12-素数组。
﹙7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47﹚
当然，把3和5列入会得到另外的结果。但它们属于孤证，本文不作讨论。
例如，以﹙11﹚开始的素数组，理论上最小的素数间距是：
2、4、2、4、6、2、6、4、2、4、2、4、6、2、6、4、2、4、2、4、6、2……
把间距相加，对应的类型是：
2，6，8，12，18，20，26，30，32，36，38，42，48，50，56，60，62，66……
目前发现的最大17-素数组，p＝2845372542509911868266811属于﹙11﹚，类型是：
﹙6，8，12，18，20，26，32，36，38，42，48，50，56，60，62，66﹚
与最紧凑的类型比较，缺少了b＝2、30。
衍生意义
前面证明了，在无穷数域的情况下，8族位置出现素数的概率均等。
假设进一步完成关键证明，针对素数p，p＋x＋30N也是素数的概率均等，将推导出一系列重要成果。
例如，孪生素数猜想。
尽管p0、p1、p2……出现的概率均等，但只统计相连素数，靠前的位置将具备更大权重，加大了选择概率。
得：P﹙0﹚＞P﹙1﹚＞P﹙2﹚……
如果孪生素数有限，便存在着最大值。﹙11﹚-﹙13﹚，﹙17﹚-﹙19﹚，﹙29﹚－﹙1﹚从最大值开始，P0＝0。
由于素数无穷多，各族素数的集合大小相等。从最大值开始统计，P﹙11﹚-﹙13﹚、P﹙17﹚-﹙19﹚、P﹙29﹚－﹙1﹚大于零。
即：P＝P﹙0﹚＋P﹙1﹚＋P﹙2﹚……＞0
所以，P﹙0﹚不可能等于0，孪生素数有无穷多。
总之，如果p＋x＋30N的假设成立，还可以证明：
1，相连素数的间距为全体偶数。
2，每一个偶数间距，都存在着无穷多的相连素数。
建议：
古典观念里，1也算素数。由于分解素因子时需要不厌其烦地附加一句“除了1”，最终被移出素数行列。
本文多次提到的2、3、5，也面临着相同情况。
我觉得，把2、3、5列为“特殊素数”才好，正如把0列为特殊偶数。相应地，孪生素数、四生素数、六素数、K-素数组……的定义，也将被修正。
以后对素数的研究，就可以简化为八个族了。
题外话：
一位教授问我，为什么是30？
我说，这是由十进制的特点决定。
对素数取模于2，得到2n±1，范围太空泛了。
取模于2×3＝6，得到6n±1，开始具备研究价值。例如，素数的数量以36n﹙n＋1﹚为单位，呈波浪形增加。
取模于2×3×5＝30，八个素数族清晰地显露了出来。
继续下去，是否得到更好结果？例如，取模于2×3×5×7……
答案是否定的。
那其实是把八族素数切割成了细碎片段，反而难见全貌。
本文创立的素数权重模型，其实可以运用于生活中所有的排序选择。如会议轮值，竞选投票，晋升通道，城市扩张，金融投资，甚至宴席敬酒，照相站位，外交政策，自然现象……
参考文献：
罗伯特·莱姆克奥利弗， 卡南·索朗达拉拉哈恩，《连续素数分布中的意外偏见》，2016年，arXiv：1603.03720 。
用全新的递升算法，证明了素数分成八族，计算出相连素数的分布概率。
证明了素数尾数以1、7、1、3、7、9、3、9为循环节，作不完整的无限循环。计算出在数域无穷大情况下，相邻素数尾数的分布概率。
提出了计算孪生素数、四生素数的一般公式，修正了六素数的定义，给出了包含素数间距，产生K－素数组类型的源头偶数链。
提出了证明孪生素数猜想的新思路。
相连素数、素数尾数、概率、权重、间距、比例。
相连素数的尾数
2016年，美国斯坦福大学的莱姆克奥利弗和索朗达拉拉哈恩考察前4000亿个素数，公布了令人震撼的重大发现。
后一个素数的尾数，会尽量避免与前数相同。
例如，个位为7的素数，更容易跟着个位为9、3或者1的素数，而不是尾数同样为7的素数。
如果素数是完全随机的，后数的尾数就应该与前数无关，1、3、7、9的分布概率均为25%。
大范围的数据检测表明，素数以1、3、7、9四个数字结尾的总体几率大致相同。但出现的顺序却有所“偏好”， 还很不一致。
例如，尾数为3的素数之后，更容易出现尾数为9的素数，而不是1或者7。
为了书写方便，我创造了几个新的符号。
n-m，指尾数为n的素数之后，接尾数为m的素数。P﹙n-m﹚，指尾数为n的素数之后，接尾数为m的素数所占比例。
斯坦福大学统计了前一亿个素数，得到了相邻素数尾数的分布概率，如下：
1-1，P＝4.425%；1-3，P＝7.598%；1-7，P＝7.758%；1-9，P＝5.218%。将它们换算成后续素数中各尾数所占的比例，则是：
P﹙1-1﹚＝17.7%
P﹙1-3﹚＝30.4%
P﹙1-7﹚＝31%
P﹙1-9﹚＝20.9%
3-1，5.910%；3-3，4.167%；3-7，7.172%；3-9，7.753%，换算是：
P﹙3-1﹚＝23.6%
P﹙3-3﹚＝16.7%
P﹙3-7﹚＝28.7%
P﹙3-9﹚＝31%
7-1，6.396%；7-3，6.832%；7-7，4.169%；7-9，7.605%，换算是：
P（7-1﹚＝26.6%
P﹙7-3﹚＝27.3%
P﹙7-7﹚＝16.7%
P﹙7-9﹚＝30.4%
9-1，8.268%；9-3，6.405%；9-7，5.903%；9-9，4.420%，换算是：
P﹙9-1﹚＝33.1%
P﹙9-3﹚＝25.6%
P﹙9-7﹚＝23.6%
P﹙9-9﹚＝17.7%
数据清晰显示，相邻素数尾数相同的概率远远低于25%。
一般认为，沿着数轴前进会由小往大遇到尾数为1、3、7、9的奇数，所以相邻素数的尾数不容易重复。
但这无法解释概率偏差的程度，也无法解释那些“偏好”。
例如，P﹙3-9﹚＝31%，说明以3结尾的素数，后面更容易出现以9结尾的素数，而不是7或者1。
P﹙9-1﹚＝33.1%，说明以9结尾的素数，后续素数有将近三分之一以1结尾。
这种反直觉的奇怪现象，无法解释，只有一百年前哈代与理特伍德的“K元素数猜想“比较接近。但是连猜想本身，也未获得证明。
我刚刚创立一种生成、分解、判定素数的递升算法，挺好地揭示了间距与分布，可以解释、预测、精确计算出素数尾数分布的极限概率。
本文只介绍与尾数相关的部分。
大于30的素数取模于30，余数必定是8个数字之一：1、7、11、13、17、19、23、29。
即：P ≡ 1、7、11、13、17、19、23、29﹙mod 30﹚
也即：P＝30N＋﹙1、7、11、13、17、19、23、29﹚
例如：
9001 ≡ 1（mod 30﹚＝300×30＋1
9007 ≡ 7（mod 30﹚＝300×30＋7
9011 ≡ 11（mod 30﹚＝300×30＋11
9013 ≡ 13（mod 30﹚＝300×30＋13
30N加上1、7、11、13、17、19、23、29之后，生成的素数分成了8个类别。
即八个素数族：
﹙1﹚，﹙7﹚，﹙11﹚，﹙13﹚，﹙17﹚，﹙19﹚，﹙23﹚，﹙29﹚。
引理：狄利克雷定理。
如果整数d≥2，a≠0，d⊥a，那么在算术级数a，a＋d，a＋2d，a＋3d……中，包含着无穷多个素数。
8个类别中，每一类包含的素数都无穷多，而任意素数取模于30后均得到8个固定的小数。所以，它们构成了全体素数。
当然，并非每一个30N都形成了素数，例如91＝3×30＋1就不是。
况且素数间距可以无穷大，并非所有的30N之间都存在素数。例如，素连乘29#和29#＋30之间就没有。
结论1：
素数尾数不是按照1、3、7、9的顺序延伸，而是以1、7、1、3、7、9、3、9为循环节，以逐级递升的30N为阶梯，进行着不完整的无限循环。
例如，30 – 60 – 90 – 120 - 150之间的素数尾数分布如下：
﹙30，60﹚ ：1……7……1……3……7……×……3……9
﹙60，90﹚ ：1……7……1……3……×……9……3……9
﹙90，120﹚ ：×……7……1……3……7……9……3……×
﹙120，150﹚：×……7……1……×……7……9……×……9
数域越大，素数越稀疏。每一个类别形成素数的总体概率趋向了一致，素数尾数的总体分布概率也趋向平均。
8个位置，就是8次生成素数的机会。
对应某一个具体的素数，后面接什么素数被数域环境决定。
例如，在素数353711之后，紧接着 353737、353747、353767 、353777四个尾数均为7的素数。
353737 ≡ 7﹙mod30﹚
353747 ≡ 17﹙mod30﹚
353767 ≡ 7﹙mod30﹚
353777 ≡ 17﹙mod30﹚
在两次循环中，循环节1、7、1、3、7、9、3、9中的1、3、9消失了，353741、353743、353749……等不是素数，被剔除。于是353747、353767 、353777替补上前，占据了它们的位置。
假如不对应具体素数，考察范围无穷大，那么8个位置生成素数的频率均等。
即，8个位置出现素数的概率均等。
证明如下：
由30N加上1、7、11、13、17、19、23、29，生成的8个素数族群加上30的素因子2、3、5，构成了全体素数。每一个族群都无穷大，集合与集合之间，元素可以形成映射关系。
例如，集合﹙7﹚与﹙11﹚。
7对应11，37对应41，67对应71，97对应101……无穷无尽。
取﹙7﹚中的任意一个素数，总能在﹙11﹚中找到一个唯一的素数对应。而且，比它们小的素数也全部实现了一一对应。
说明两个无穷大的集合﹙7﹚与﹙11﹚大小相等，意味着30N＋7和30N＋11生成素数的总量F相等。
当N趋向∞时，F﹙7﹚／N＝F﹙11﹚／N，两类素数发生的频率相等。
引理：伯努力大数定律
n趋向于无穷大，事件发生的频率f／n，将无限接近一次实验发生的概率p。
说明，30N＋7和30N＋11生成素数的概率均等。
扩大证明范围，得出：
在无穷数域的情况下，8个位置出现素数的概率均等。
然而，具体到某一个素数后面会接什么素数，却跟循环节中数字的位置有重要关系。靠前的位置占据了领先优势，加大了统计概率。
在总体概率平均的情况下，由于只统计相邻素数，当第1个位置出现了素数，后续的7个位置不管有没有成功，统统失去了被统计的资格。
换一个角度看。
除了2、3、5，任意素数都会连接八族素数中的一个，概率为100％。循环节中，八个位置生成素数的概率均为1／8。
前一个素数族确定了，后面八族素数按照不完整循环节展开的顺序也确定了。为方便计算，给予循环节8次机会，以确保生成素数。
由于素数的相连是由小到大，循序展开的。第一个位置只要生成素数就会被纳入统计，等于拥有了8次有效机会。
对第二个位置而言，只有第一个位置没有生成素数才可能纳入统计。而8次机会中，第一个位置至少生成了一个素数。所以，它只剩下7次有效机会。
以此类推，第三个位置是6次……第八个位置是1次。
反映到权重上，把第一个位置定为8。
同理，得出第2个位置的权重是7，第3个位置的权重是6，第4个位置的权重是5，第5个位置的权重是4，第6个位置的权重是3，第7个位置的权重是2，第8个位置的权重是1。
在离散情况下，权重即概率。
全体位置的总权重是：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36
按照1、7、1、3、7、9、3、9的循环顺序，数域趋向无穷大时相邻素数的尾数分布概率，也是它们所占的比例。
例如，求尾数为1的素数之后接尾数为3的素数，比例是多少？
循环节中共有两个1，前一个属于﹙1﹚的类别，后一个属于﹙11﹚的类别。对﹙1﹚类别而言，后面第3个和第6个位置是3，权重为6和3；对﹙11﹚类别而言，后面第1个和第4个位置是3，权重为8和5。
平均权重为﹙6＋3＋8＋5﹚／2。
占总权重的比例为﹛﹙6＋3＋8＋5﹚／2﹜／36。
简化计算如下：
P﹙1-1﹚＝﹙7＋1＋3＋1﹚／72＝16.7%
P﹙1-3﹚＝﹙6＋3＋8＋5﹚／72＝30.6%
P﹙1-7﹚＝﹙8＋5＋7＋2﹚／72＝30.5％
P﹙1-9﹚＝﹙4＋2＋6＋4﹚／72＝22.2%
P﹙3-1﹚＝﹙4＋2＋7＋5﹚／72＝25%
P﹙3-3﹚＝﹙6＋1＋4＋1﹚／72＝16.7%
P﹙3-7﹚＝﹙8＋3＋6＋3﹚／72＝27.8％
P﹙3-9﹚＝﹙7＋5＋8＋2﹚／72＝30.5%
P﹙7-1﹚＝﹙8＋2＋5＋3﹚／72＝25%
P﹙7-3﹚＝﹙7＋4＋7＋2﹚／72＝27.8%
P﹙7-7﹚＝﹙6＋1＋4＋1﹚／72＝16.7％
P﹙7-9﹚＝﹙5＋3＋8＋6﹚／72＝30.5%
P﹙9-1﹚＝﹙6＋4＋8＋6﹚／72＝33.3%
P﹙9-3﹚＝﹙8＋3＋5＋2﹚／72＝25%
P﹙9-7﹚＝﹙5＋2＋7＋4﹚／72＝25％
P﹙9-9﹚＝﹙7＋1＋3＋1﹚／72＝16.7%
上面计算出来的数值，与斯坦福大学的统计结果比较，基本上每一项的吻合程度都超过了99％。之所以存在1%的偏差，是因为前1亿个素数的数域还不够大，选择的样本还不够多。
相邻素数为什么不愿意重复尾数？
为什么某些尾数的素数之后，更容易跟着特定尾数的素数？
一切都被概率决定！
结论2：
递升算法计算出来的，是理想状态下的极限值。
素数尾数的分布概率，在每一个阶段都存在波动与偏离。随着数域扩大，样本增多，逐渐靠近极限。
例如，在100以内，P﹙9-1﹚＝40％；在1000以内，P﹙9-1﹚＝28％；在10000以内，P﹙9-1﹚＝34％。
斯坦福大学的统计显示，在前1亿个素数内，P﹙9-1﹚＝33.1%。而递升算法计算出来的极限值，则是：P﹙9-1﹚＝33.3%。
运用递升算法，可以求出任意间隔素数的尾数分布概率。
例如，预测某素数与后面第八个素数尾数相同的概率将大幅度上升。当数域越大，采样越多，效果越明显。
考察300000——320000区间，尾数为1的素数，其后第八个素数尾数也为1的概率，高达31.9％。
相连素数
不过，对尾数的研究混淆了八个素数族，掩盖了真相。
例如P﹙1-3﹚，实际上是﹙1﹚、﹙11﹚与﹙13﹚、﹙23﹚相连的混合结果。
真正具备重大意义的，是相连素数的分布概率，它意味着素数间距。
除了2、3、5，全体素数按照﹙1﹚、﹙7﹚、﹙11﹚、﹙13﹚、﹙17﹚、﹙19﹚、﹙23﹚、﹙29﹚的先后顺序，进行着不完整的无限循环。
以﹙1﹚为例，连接了﹙7﹚、﹙11﹚、﹙13﹚、﹙17﹚、﹙19﹚、﹙23﹚、﹙29﹚、﹙1﹚，权重分别是8、7、6、5、4、3、2、1，总权重为36。
当数域充分大，与﹙1﹚族相连的素数分布将无限趋近如下比例：
P﹙1﹚-﹙7﹚＝8／36＝22·2……％
P﹙1﹚-﹙11﹚＝7／36＝19·4……％
P﹙1﹚-﹙13﹚＝6／36＝16·7……％
P﹙1﹚-﹙17﹚＝5／36＝13·9……％
P﹙1﹚-﹙19﹚＝4／36＝11·1……％
P﹙1﹚-﹙23﹚＝3／36＝8·3……％
P﹙1﹚-﹙29﹚＝2／36＝5·6……％
P﹙1﹚-﹙1﹚＝1／36＝2·8……％
考察数域﹙250000-1850000﹚，每一次扩大十万统计范围。在﹙250000－350000﹚，﹙250000－450000﹚……﹙250000－1850000﹚中，﹙1﹚族素数接各族素数的分布比例如下：
P﹙1﹚-﹙7﹚
29·4％→29·1％→28·7％→28·3％→27·9％→27·8％→27·4％→27·2％→27·2％→
27·3％→27·4％→27·3％→27·0％→27·1％→27·0％→26·9％……
→22·2……％
P﹙1﹚-﹙11﹚
23·1％→21·1％→21·4％→21·0％→21·1％→21·3％→21·4％→21·4％→21·4％→
21·3％→21·2％→21·2％→21·2％→21·0％→20·9％→20·8％……
→19·4……％
P﹙1﹚-﹙13﹚
15·3％→16·7％→16·1％→16·3％→16·3％→16·3％→16·3％→16·2％→16·1％→
16·2％→16·3％→16·2％→16·3％→16·2％→16·2％→16·3％……
→16·7……％
P﹙1﹚-﹙17﹚
10·8％→10·9％→11·7％→12·2％→12·2％→11·7％→11·4％→11·5％→11·5％→
11·5％→11·4％→11·6％→11·7％→11·8％→11·8％→11·8％……
→13·9……％
P﹙1﹚-﹙19﹚
9·5％→9·6％→9·3％→8·9％→8·7％→8·9％→9·1％→9·2％→9·2％
9·1％→9·1％→9·0％→9·0％→9·1％→9·1％→9·1％……
→11·1……％
P﹙1﹚-﹙23﹚
5·7％→6·3％→6·5％→6·9％→6·8％→6·8％→7·0％→7·0％→7·0％→
7·1％→7·2％→7·3％→7·2％→7·2％→7·3％→7·3％……
→8·3……％
P﹙1﹚-﹙29﹚
4·6％→4·5％→4·5％→4·4％→4·6％→4·6％→4·7％→4·8％→4·7％→
4·7％→4·6％→4·6％→4·7％→4·7％→4·8％→4·9％……
→5·6……％
P﹙1﹚-﹙1﹚
1·6％→1·8％→1·8％→2·0％→2·4％→2·6％→2·7％→2·7％→2·9％→
2·8％→2·8％→2·8％→2·9％→2·9％→2·9％→2·9％……
→2·8……％
统计数据和递升算法的预测数值，基本一致。
P﹙1﹚-﹙7﹚与P﹙1﹚-﹙11﹚的初始偏差高达7％和4％，是因为数域不够大，数值小。小数值区域素数密集，靠前位置被选择的概率加大了。
从0开始的几万区间，P﹙1﹚-﹙7﹚超过了30％。
随着数域扩大，相连素数分布概率的波动越来越小了，渐渐逼近理想值。
结论3：
素数不是完全随机的！
它由2、3、5和八个族组成，在无限数域的情况下，族与族相连的分布概率是一个确定的、非随机平均化的常数。
孪生素数
孪生素数的间距为2，除了3、5、7，全部来自﹙11﹚-﹙13﹚，﹙17﹚-﹙19﹚，﹙29﹚－﹙1﹚。
P﹙11﹚-﹙13﹚＝P﹙17﹚-﹙19﹚＝P﹙29﹚－﹙1﹚＝22·2……％。
p与p＋2＋30N相连，当N＝0时是孪生素数。
例如﹙11﹚-﹙13﹚中，41与43是孪生素数，303431连接303463，N＝1。
设p＋2＋0×30的分布概率为P﹙0﹚，p＋2＋1×30的为P﹙1﹚……
则：P﹙11﹚-﹙13﹚＝P﹙0﹚＋P﹙1﹚＋P﹙2﹚＋……
相连素数循环了N＋1次，意味着N次循环失败，p＋x＋30N与p相连。
x为小于30的偶数，是各族素数相连的最小间距。例如，﹙1﹚－﹙29﹚，x＝28；﹙29﹚-﹙1﹚，x＝2。
先看二次循环，以此类推。
从p0至p1，共计9个可能产生素数的位置，权重比例为：9、8、7、6、5、4、3、2、1。由于中间没有素数，p0所占的比例为：9／﹙9＋1﹚＝90％。
考察数域9200000-9300000中的﹙11﹚-﹙13﹚，只有二次循环，数据如下：
P﹙11﹚-﹙13﹚＝23·8％，P0＝91·4％，P1＝8·6％。
数据非常吻合。
假如是三次循环的数域，理论上，P0＝17／﹙17＋9＋1﹚＝63％
考察9300000-9400000，出现了三次循环，数据如下：
P﹙11﹚-﹙13﹚＝25％，P0＝88·3％，P1＝10·6％，P2＝1·1％。
P0的偏差大，在于理论计算中视p1、p2、p3……分布于全数域。实际上随着数域扩大，相连素数的间距拉开，p1、p2、p3……才逐渐出现。
例如，1000以内的素数间距不超过30，P0＝100％，不可能出现二次循环。
前数的累积，导致偏差巨大。
对于从自然数域中截取的小区间，最高循环一般不会分布充分。设其为离群值舍弃，才能够得到接近真实的P0。
像9300000-9400000中，设三次循环为离群值，则理论上的P0＝90％。
通过P0，能够估算孪生素数。
循环的次数为N＋1，令M＝N＋1。
M次循环，权重构成了一个首项为1，公差为8，共计M项的等差数列。
p0的权重为：1＋8﹙M－1﹚＝8M－7
总权重为：M＋4M﹙M－1﹚＝M﹙4M－3﹚
P0＝﹙8M－7﹚／[M﹙4M－3﹚]
上式显示，M越大，P0越小。M趋向于无穷大，P0趋向于0。孪生素数将随着数域的扩大越来越稀少，渐渐接近零。
设素数个数为A，孪生素数的组数为B。
以﹙11﹚、﹙17﹚、﹙29﹚为首的素数，比例接近总数的3／8。分别接﹙13﹚、﹙19﹚、﹙1﹚的概率为8／36，形成最小间距2的比例为P0。
得：B＝A×﹙3／8﹚×﹙8／36﹚P0＝A×P0／12
公式中的P0针对整个自然数域，是N趋向无穷大时的综合情况。针对有限域，加权平均才可以计算出接近真实的结果。
随着数域扩大，素数间距逐渐拉开。末尾区间的最大间距，基本上代表了最高循环次数，可以视为M。
本文按照国际通行标准，舍弃最大值的75％及以上部分为离群值。例如，检测末尾区间得到最高循环次数为17，则M＝11。
当数域充分大，素数间距循环次数逐渐增加。局部未必均衡，但是随着数域向无穷发展，整体将会接近均衡。
假设理想的均衡状态，从0开始，数域的最高循环次数为M。由小到大划分出M个区间，在第一个区间只有1次循环，第二个区间有1次循环和2次循环……第M个区间有1、2……M次循环。
1次循环出现的次数将是最高循环的M倍，2次循环是M－1倍……
因此，P0的加权平均值为：
[MP0＋﹙M－1﹚P1＋……Pm ] ／﹙1＋2＋……＋M﹚
以下数据，由高红卫先生提供。
自然数域1·116E﹢13内共有素数4·18E﹢11个，孪生素数2·07E﹢10组。在末尾6E﹢9的区间，1114241678707——1114241679139形成了最大间距432，循环了15次。
取M＝10，则：
P0＝[1×10＋﹙9／10﹚×9＋……﹙73／370﹚] ／﹙1＋2＋……10﹚＝59·9％
得B＝2·087 E﹢10，偏差为﹢0·8％。
自然数域1·248E﹢13内，共有素数4·655E﹢11个，孪生素数2·296E﹢10组。在末尾6E﹢9的区间，1247877402521——1247877402977形成了最大间距456，循环了16次。
取M＝11，则P0＝57·3％。
得B＝2·223 E﹢10，偏差为﹣3·2％。
自然数域1·26E﹢13内，共有素数4·698E﹢11个，孪生素数2·316E﹢10组。在末尾6E﹢9的区间，1258535916601——1258535917103形成了最大间距502，循环了17次。
取M＝11，则P0＝57·3％。
得B＝2·243 E﹢10，偏差为﹣3·2％。
由三组数据可以看出，除非检测全数域，否则无法获得真实的P0值。然而，知道了A与B就可以倒推出P0，将获得精准结果。
例如，由自然数域1·248E﹢13的P0＝59·2％，推测差不多大小的1·26E﹢13也如此。得B＝2·317E﹢10，偏差仅为﹢0·04％。
例如，估算孪生素数的组合。
四胞胎素数
四胞胎素数指符合﹙p、 p+2、p+6、 p+8﹚的素数组，例如﹙5、7、11、13﹚和﹙11、13、17、19﹚……有的研究将﹙2、3、5、7﹚也列入了。
这是两组孪生素数相连，间距为4，也被称作四生素数。
2、3、5作为初始素数，不属于任何族群。无穷数域，孤证不举。它们对结果产生不了任何影响，未被本文纳入计算。
除了﹙5、7、11、13﹚，符合﹙p、 p+2、p+6、 p+8﹚形式的，只有﹙11﹚-﹙13﹚-﹙17﹚-﹙19﹚。
经典概率中，可能性是独立的。
三个事件发生的概率为A、B、C，共同发生的概率就是A×B×C。假如三个事件形成了条件制约，共同发生的概率将小于A×B×C。
自然数域中，前数决定了后数。各种可能性相互干涉，没有完全独立的存在。每一个数的呈现，都是概率叠加的结果。
设数域中有素数A个，孪生素数B组，四胞胎素数C组。
根据递升算法，把﹙11﹚-﹙13﹚视为整体，则其对﹙17﹚的综合权重为﹙7＋8﹚×﹙7＋8﹚／﹙8＋8﹚，三者对﹙19﹚的权重为6、7、8。
平均所有权重，得：
C＝﹙B／3﹚×[﹙7＋8﹚﹙7＋8﹚／﹙8＋8﹚／36／2]P0×[﹙6＋7＋8﹚／36／3]P0
＝﹙175／13824﹚BP0P0
＝﹙175／96﹚BBB／AA
公式显示，随着数域扩大，四胞胎的比例将比孪生素数下降得更快。
以下数据由“月亮在营业”先生提供，估值C由上式计算出来。
数域：4·20E﹢7
A：2·54E﹢6，B：2·05E﹢5，C：2·49E﹢3，估值C：2·43E﹢3
数域：1·68E﹢8
A：9·39E﹢6，B：6·96E﹢5，C：7·05E﹢3，估值C：7·0E﹢3
数域：1·34E﹢9
A：6·72E﹢7，B：4·46E﹢6，C：3·58E﹢4，估值C∶3·58E﹢4
数域：1·07E﹢10
A：4·87E﹢8，B：2·92E﹢7，C：1·91E﹢5，估值C：1·91E﹢5
数域：6·87E﹢11
A：2·62E﹢10，B：1·32E﹢9，C：6·11E﹢6，估值C：6·11E﹢6
偏差为：﹣2·4％，﹣0·7％，0％，0％，0％。
扩大范围，提高精度。
以下的A、B、C值来自公开数据，估值C由上式计算出来。
数域：1·25E﹢15
A：3·70587E﹢13，B：1·45207E﹢12，C：4·034E﹢9，估值C：4·064E﹢9
数域：2·5E﹢15
A：7·26235E﹢13，B：2·78812E﹢12，C：7·435E﹢9，估值C：7·491E﹢9
数域：5E﹢15
A：1·42377E﹢14，B：5·35788E﹢12，C：1·373E﹢10，估值C∶1·383E﹢10
数域：1E﹢16
A：2·79238E﹢14，B：1·03042E﹢13，C：2·538E﹢10，估值C：2·558E﹢10
数域：2E﹢16
A：5·47863E﹢14，B：1·98318E﹢13，C：4·7E﹢10，估值C：4·737E﹢10
对五个自然数域的理论计算，与实际情况完美吻合，偏差仅为：
﹢0·74％，﹢0·75％，﹢0·73％，﹢0·79％，﹢0·79％
有限域的三类孪生素数并不精确等于总数的1／3，BBB连乘三次，放大了偏差。
例如在1万的数域中，﹙29﹚-﹙1﹚占了孪生素数总数的36·1％，在5万时的占比为32·4％，在20万时的占比为32·7％。
六素数
六素数，指间距为6的素数组。
以四元组为例，来自﹙1﹚-﹙7﹚-﹙13﹚-﹙19﹚和﹙11﹚-﹙17﹚-﹙23﹚-﹙29﹚。例如， ﹙41，47，53，59﹚，﹙61，67，73，79﹚……
从递升算法的角度看，在﹙19﹚和﹙29﹚之后，相连素数的间距由小到大分别是4、10……和2、8……所以，六素数不可能有五元组。
从等差数列的角度看，连续5个数必有一个被5整除，唯一的五元组是﹙5，11，17，23，29﹚。
我觉得，﹙5，11，17，23﹚和﹙5，11，17，23，29﹚属于孤证，将它们列入六素数是不科学的。
K-素数组
K-素数组指p，p＋b1……p＋bk－1是K个相连素数，b1＜b2……＜bk－1，不存在相同长度的素数序列q使得qk－1－q0＜bk－1。
K-素数组的类型是﹙b1，b2……bk－1﹚，当bk－1取最小值时称为紧凑类型﹙tight﹚。
除了2、3、5，全体素数按照﹙1﹚、﹙7﹚、﹙11﹚、﹙13﹚、﹙17﹚、﹙19﹚、﹙23﹚、﹙29﹚的顺序，作不完整的无限循环。
除了2、3、5，以最小族间距为循环节，无限延伸的偶数长链：
6、4、2、4、2、4、6、2、6、4、2、4、2、4、6、2、6、4、2……
我称为之“母链”，包含了所有素数的间距，无论相连或者不相连。任意两个素数的间距，是所处长链位置的间距之和。
例如，9907、9923、9929分别属于﹙7﹚、﹙23﹚、﹙29﹚，对应的位置为：
9907＋4＋2＋4＋2＋4∶9923＋6∶9929
对应的母链片段为：4、2、4、2、4、6，前四个位置被合数占据。
母链也是全部K-素数组类型的源头。b等于最小族间距之和，素数组最紧凑。当中间环节缺失，便产生了其它类型。
例如，最紧凑的12-素数组。
﹙7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47﹚
当然，把3和5列入会得到另外的结果。但它们属于孤证，本文不作讨论。
例如，以﹙11﹚开始的素数组，理论上最小的素数间距是：
2、4、2、4、6、2、6、4、2、4、2、4、6、2、6、4、2、4、2、4、6、2……
把间距相加，对应的类型是：
2，6，8，12，18，20，26，30，32，36，38，42，48，50，56，60，62，66……
目前发现的最大17-素数组，p＝2845372542509911868266811属于﹙11﹚，类型是：
﹙6，8，12，18，20，26，32，36，38，42，48，50，56，60，62，66﹚
与最紧凑的类型比较，缺少了b＝2、30。
衍生意义
前面证明了，在无穷数域的情况下，8族位置出现素数的概率均等。
假设进一步完成关键证明，针对素数p，p＋x＋30N也是素数的概率均等，将推导出一系列重要成果。
例如，孪生素数猜想。
尽管p0、p1、p2……出现的概率均等，但只统计相连素数，靠前的位置将具备更大权重，加大了选择概率。
得：P﹙0﹚＞P﹙1﹚＞P﹙2﹚……
如果孪生素数有限，便存在着最大值。﹙11﹚-﹙13﹚，﹙17﹚-﹙19﹚，﹙29﹚－﹙1﹚从最大值开始，P0＝0。
由于素数无穷多，各族素数的集合大小相等。从最大值开始统计，P﹙11﹚-﹙13﹚、P﹙17﹚-﹙19﹚、P﹙29﹚－﹙1﹚大于零。
即：P＝P﹙0﹚＋P﹙1﹚＋P﹙2﹚……＞0
所以，P﹙0﹚不可能等于0，孪生素数有无穷多。
总之，如果p＋x＋30N的假设成立，还可以证明：
1，相连素数的间距为全体偶数。
2，每一个偶数间距，都存在着无穷多的相连素数。
建议：
古典观念里，1也算素数。由于分解素因子时需要不厌其烦地附加一句“除了1”，最终被移出素数行列。
本文多次提到的2、3、5，也面临着相同情况。
我觉得，把2、3、5列为“特殊素数”才好，正如把0列为特殊偶数。相应地，孪生素数、四生素数、六素数、K-素数组……的定义，也将被修正。
以后对素数的研究，就可以简化为八个族了。
题外话：
一位教授问我，为什么是30？
我说，这是由十进制的特点决定。
对素数取模于2，得到2n±1，范围太空泛了。
取模于2×3＝6，得到6n±1，开始具备研究价值。例如，素数的数量以36n﹙n＋1﹚为单位，呈波浪形增加。
取模于2×3×5＝30，八个素数族清晰地显露了出来。
继续下去，是否得到更好结果？例如，取模于2×3×5×7……
答案是否定的。
那其实是把八族素数切割成了细碎片段，反而难见全貌。
本文创立的素数权重模型，其实可以运用于生活中所有的排序选择。如会议轮值，竞选投票，晋升通道，城市扩张，金融投资，甚至宴席敬酒，照相站位，外交政策，自然现象……
参考文献：
罗伯特·莱姆克奥利弗， 卡南·索朗达拉拉哈恩，《连续素数分布中的意外偏见》，2016年，arXiv：1603.03720 。
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