Question

高等数学求微分方程的通解

微分方程(x+y)dx-xdy=0的通解是？
x=?

Answer 1

首先求y"+3y'+2y=0的通解
解特征方程x^2+3x+2=0的两根为-1和-2
所以y"+3y'+2y=0的通解为y=c1*e^(-x)+c2*e^(-2x)，其中c1，c2为任意常数
然后求y"+3y'+2y=6e^x的特解
应该说，虽然求微分方程的特解本身是相当困难的事，但一般高等数学的题目都不算很难，一般可以用观察法得到
注意到1+2+3=6，而对于y=e^x的各阶导数y'，y‘’都是e^x。可以想到特解就是y=e^x（代进去可以证实）
于是y"+3y'+2y=6e^x的通解为y=e^x+c1*e^(-x)+c2*e^(-2x)，其中c1，c2为任意常数

Answer 2

两边同时除以x^2,得到
（1/x+y/x^2）dx-1/x dy=0
因为1/x+y/x^2关于y求导和-1/x 关于x求导的结果相等
所以（1/x+y/x^2）dx-1/x dy=d（lnx-y/x）全微分
所以得到lnx-y/x=C (C为任意常数)

再整理一下就OK了

Answer 3

常规方法就是常数变易法
不过根据这题的具体形式 有巧法
原式可化为
xdx+ydx-xdy=0
因为d(y/x)=(ydx-xdy)/x^2
所以ydx-xdy=x^2*d(y/x)代入得
xdx=-x^2*d(y/x)
dx/x=-d(y/x)
两边积分
ln|x|+C1=-y/x+C2
即x*e^(y/x)=C

Answer 4

原方程可变形成为:dy/dx-(1/x)y=1
显然是一个一阶非齐次线性方程,自己用常数变易法去算吧!!!
答案是y=(lnx+C)x