Question

⒈已知分段函数f(x)=（a-1)x+5 x≥0;﹣x²+ax+a x＜0在（-∞，﹢∞）上为增函数，求a的取值范围。

Answer 1

⒈已知分段函数f(x)=（a-1)x+5 x≥0;﹣x²+ax+a x＜0在（-∞，﹢∞）上为增函数，求a的取值范围。
解题步骤如下：a-1＞0;a／2≥0;x=0,a≤5 解得：1＜a≤5不明白为什么x=0,a≤5
求指点

在x=0处，分段函数的右分段f(x)=(a-1)x+5的函数值f(0+)=(a-1)*0+5=5 ,x≥0时
而分段函数的左分段f(x)=-x²+ax+a的函数值当x=0时，f(0-)=-0²+a*0+a=a ,因为左分段在x=0无定义，
因为函数在整个实数区间为增函数，所以，在x=0处，左分段的函数值f(0-)必须≯右分段在该点的函数值f(0+)，即
f(0-)≤f(0+),这就x=0,a≤5的原因

⒉判断函数y=√¯2x-x²的单调性。设2x-x²=t,则对称轴为﹣b／2a=1 ∴﹝0,1﹞为增函数，﹝1，2﹞为减函数,不明白为什么在区间﹝0,1﹞为增函数，﹝1，2﹞为减函数，不应该是区间﹝0,1﹞，﹝1，√¯2﹞吗？函数y=√¯2x-x²是在根号下的。
求指点
首先，分析函数的定义域：2x-x²≥0，解之得 0≤x≤2
其次，分析函数的单调性：找到函数的驻点：令f'(x)=(2-2x)/sqrt(2x-x²)=0，得驻点 x=1，f(1)=sqrt(2*1-1²）=1
函数f(x) = -x²+2x，为开口向下的抛物线，驻点（1，1）；
在[0,1]区间，函数单调增加，越过驻点，在（1，2]区间函数单调减小；
函数的单调区间由定义域和驻点决定，在定义域的框架下，根号已经对单调性失去约束，
单调区间讲的是在同一个单调性规律下，自变量的变化范围，它与函数值是有区别的，在本问题中，只有函数值受根号影响，即值域受根号的影响；
你应当是混淆了定义域与值域的概念，才有此一问，对吗？
希望能对你有所帮助，中秋节快乐！

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示