已知:α,β为锐角,cosα= , ,求β.
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先判断0<α+β<π,求得 sinα= ,cos(α+β)=± .当cos(α+β)= 时,求得sinβ=sin[(α+β)-α]<0,矛盾,可得cos(α+β)=- .
再由cosβ=cos[(α+β)-α]= ,结合0<β< ,求得β 的值.
【解析】
∵α,β为锐角,∴0<α+β<π. …(1分)
∵cosα= ,sin(α+β)= ,
∴sinα= ,cos(α+β)=± . …(4分)
当cos(α+β)= 时,sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα= - <0,矛盾,
∴cos(α+β)=- .…(6分)
∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα …(8分)
=- + = ,…(10分)
又0<β< ,∴β= .…(12分)
再由cosβ=cos[(α+β)-α]= ,结合0<β< ,求得β 的值.
【解析】
∵α,β为锐角,∴0<α+β<π. …(1分)
∵cosα= ,sin(α+β)= ,
∴sinα= ,cos(α+β)=± . …(4分)
当cos(α+β)= 时,sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα= - <0,矛盾,
∴cos(α+β)=- .…(6分)
∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα …(8分)
=- + = ,…(10分)
又0<β< ,∴β= .…(12分)
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