Question

f(x)=x^2,g(x)=2lnx,设h(x)=f(x)-g(x),求h(x)的最小值

Answer 1

(1)h(x)=f(x)-g(x)=x^2-2lnx (x＞0)
h'(x)=2x-2/x=2(x^2-1)/x
当0＜x＜1时,h'(x)＜0,h(x)递减
当x＞1时,h'(x)＞0,h(x)递增
当x=1时,h'(x)=0,h(x)有最小值.h(x)min=h(1)=1^2-2ln1=1
(2)设平移后的函数为F(x),则F(x)=x^2+c.设F(x)与g(x)的交点为M,M点坐标（x0,y0）,(x0＞0)
F'(x)=2x,g'(x)=2/x
则F'(x0)=g'(x0)
即2x0=2/x0
解得x0=1
那么y0=2lnx0=0
M点坐标为(1,0)
将M点坐标代入F(x)则有0=1^2+c,解得c=-1
也就是将f(x)向下平移1个单位