Question

已知函数f(x2−1)＝logax22−x2（a＞0且a≠1）．

Answer 1

（1）令t=x 2-1（t≥-1）
则x 2=t+1
∵f(x2−1)＝loga
x2
2−x2
∴f(t)＝log2
t+1
2−(t+1)=loga
1+t
1−t
∴f(x)＝loga
1+x
1−x
要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：-1＜x＜1
故函数f（x）的定义域为（-1，1）
又∵f(−x)＝loga
1−x
1+x=-f（x）
故函数为奇函数
（2）∵f(x)＝loga
1+x
1−x（-1＜x＜1）
∴f -1（x）=
2x−1
2x+1
由于函数解析式恒有意义
故函数f -1（x）的定义域为R
（3）∵f -1（x）=
2x−1
2x+1=1-
2
2x+1
当x增大时，2 x+1随之增大，
2
2x+1随之减小，1-
2
2x+1随之增大
故f -1（x）单调递增