Question

如何求解星形线的面积？

Answer 1

星形线关于x轴和y轴对称的，如图，x=a(cost)^3，y=a(sint)^3

其中a>0，t从0变到π/2正好是它在第一象限部分的图像，所以：

S＝4∫(0→a)ydx
＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]
＝12a^2∫(0→π/2)
(sint)^4(cost)^2 dt
＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6]
dt
＝12a^2[3/4*1/2*π/2－5/6*3/4*1/2*π/2]
＝(3πa^2)/8 

拓展资料

1、星形线是内摆线的一种，或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线，也属于超椭圆的一种。

2、所有星形线皆可以依以下的方程式比例缩放而得： 

3、若让一个半径为1/4的圆在一个半径为1的圆内部，延著圆的圆周旋转，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线。

4、星形线的参数方程为：

5、的对偶曲线是十字架形曲线，其方程式为：  

6、一个半径为 a之圆的内摆线构成的星形线，其面积为  ，周长为6a。

参考资料：百度百科：星形线