Question

五分之三分解单位分数怎么分 分拆成两个不同的单位分数之和

Answer 1

埃及分解。对方程1/x+1/y=n/m求自然数解，x<>y。
一.3/5上下乘以同一个数a+b，有3/5=3(a+b)/5(a+b)=3a/5(a+b)+3b/5(a+b)。要令等式右边两个分数3a/5(a+b)和3b/5(a+b)为单位分数，显然(a+b)必须是3的倍数，并且5(a+b)必须是a的倍数。比较方便的做法是令a=5（实际上设成分母m的任意一个因数都可以）。即得3/5=3*5/5(5+b)+3b/5(5+b)，(5+b)必须是3的倍数，5必须是b的倍数。容易看出b=1（分母m的另一个因数）。即得3/5=3*5/5(5+1)+3/5(5+1)=1/2+1/10。
二.对原方程两边通分，有my+mx=nxy。合并同类项，x=my/(ny-m)。显然要让x为自然数，只要ny-m=1即可。即得y=(m+1)/n，x=m(m+1)/n。本题x=10，y=2。
三.原方程两边同乘以1/n，得1/nx+1/ny=1/m。令a=nx，b=ny，得1/a+1/b=1/m。由此特殊形式考虑到常见等式1/m-1/(m+1)=1/m(m+1)，移项即得1/m=1/(m+1)+1/m(m+1)，即a=m+1，b=m(m+1)。也就是1/5=1/6+1/30，3/5=3/6+3/30=1/2+1/10。
四.原方程两边同乘以1/n，得1/nx+1/ny=1/m。令a=nx，b=ny，得1/a+1/b=1/m。将方程两边同乘以mab并移项，得ab-ma-mb=0，ab-ma-mb+m^2=m^2，(a-m)(b-m)=m^2。本题m=5为质数，即得唯一分解a-m=1，b-m=m^2（注意题目要求两个单位分数必须不同）。解得a=6，b=30。x=2，y=10。当m为质数时，因为a=m+1=nx，可知m+1必须是n的整数倍，否则无解。如m是合数，则只需要将m^2的因数分情况讨论，即可得所有自然数解。

Answer 2

3/5＝6/10＝5/10+1/10＝1/2+1/10