Question

老师您好，请问一下，已知矩阵和其合同矩阵，如何求使他们合同的可逆矩阵？

Answer 1

解法如下：

A=PBPT

此时可以使用增广矩阵B|I。

进行初等变换（先对B|I 作初等行变换，再对B作相应的初等列变换，这样交替进行）。

最终，左侧B化成A, 即增广矩阵可以化成A|P的形式。

于是就得到右侧的P矩阵。

扩展资料：

合同矩阵的性质

合同关系是一个等价关系，也就是说满足：

1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；

2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A；

3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；

4、合同矩阵的秩相同。

矩阵合同的主要判别法：

设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。

设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

合同矩阵的正定二次型

半正定二次型：其对应的对称矩阵在实数域内可以合同到一个对角线元素只由0和1构成的对角矩阵。

一个二次型是半正定二次型，当且仅当它的正惯性指数等于它对应矩阵的秩。

正定二次型：其对应的对称矩阵在实数域内合同于单位阵。

一个n元二次型是正定二次型，当且仅当它的正惯性指数是n。正定二次型对应矩阵一定是可逆矩阵，且行列式大于0。

同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。

参考资料来源：百度百科--矩阵