Question

求证：a的（m+n)次方+b的（m+n)次方大于等于(a的m次方)(b的n次方)+(a的n次方)(b的m次方).

已知a,b,m,n均大于0,且m,n均为整数.

Answer 1

证明:
a的（m+n)次方+b的（m+n)次方≥(a的m次方)(b的n次方)+(a的n次方)(b的m次方)
对上式变形得:
(a的m次方)(a的n次方)+(b的m次方)(b的n次方)≥(a的m次方)(b的n次方)+(a的n次方)(b的m次方)
移项得:
(a的m次方)(a的n次方)+(b的m次方)(b的n次方)-(a的m次方)(b的n次方)-(a的n次方)(b的m次方)≥0 利用加法交换律得:
(a的m次方)(a的n次方)-(a的m次方)(b的n次方)+(b的m次方)(b的n次方)-(a的n次方)(b的m次方)≥0 化简得:
(a的m次方)[(a的n次方)-(b的n次方)]+(b的m次方)[(b的n次方)-(a的n次方)]≥0
(a的m次方)[(a的n次方)-(b的n次方)]-(b的m次方)[(a的n次方)-(b的n次方)]≥0
提取公因式(a的n次方)-(b的n次方)得:
[(a的m次方)-(b的m次方)][(a的n次方)-(b的n次方)]≥0
即(a的m次方)-(b的m次方)与(a的n次方)-(b的n次方)同号
即a的m次方>b的m次方且a的n次方>b的n次方
或者a的m次方<b的m次方且a的n次方<b的n次方
由于a,b,m,n均大于0,且m,n均为整数
而a的m次方、b的m次方、a的n次方、b的n次方的图象均是单调递增的（在底数，指数全为正数，且指数相同的情况下，底数越大，则值越大，
即
（1）如果a>b,那么a的m次方>b的m次方，a的n次方>b的n次方同号，所以乘积也大于0
同理
（2）如果a<b,那么他们同样是同号（只不过现在全为负）
（3）当a=b时，a的（m+n)次方+b的（m+n)次方≥(a的m次方)(b的n次方)+(a的n次方)(b的m次方)中的等于号成立