Question

概率题求解！

在黑白配这个游戏中，在每轮比赛中，所有的参与者要么把手朝上（“白”），要么把手朝下（“黑”）。如果除一个之外的所有游戏者都做出相同的选择，那么这位出了与众不同的颜色的参与者将不再进行下一轮游戏。其他的参与者则继续进行游戏，直到只剩下两个参与者。

现在，有五个孩子参与了这个游戏，他们其中每一个都以自己的固定概率独立选择是否将手面朝上。
提示：如果有三个孩子参与游戏，且概率都是0.5，则预期回合数是1.333
提示2:
令E(S)为还有孩子在玩的预期回合数（expected number of turns in a game if only the children in S are still playin。若S中的孩子<=2，那么E（S）=0。

对于S中的每个孩子，方法是将他们出局的两种情况的概率相加：他们下黑棋，所有其他人下白棋，反之亦然。让孩子坐出的概率为sit_i。

E(S) = 1 + sit_1 E(S {1}) + sit_2 E(S {2}) + ... + (1 - \sum sit_i) E(S)。

（1）请解释这个通项公式。
（2）如果孩子们出“白”的概率是0.1，0.3，0.5，0.7，0.9，求总会和数的预期值是多少？

Answer 1

用0,1表示白、黑两种情况。
1）3人参加，有2^3=8种可能：除了000,111外的6种都满足“一人异于众人”的条件，所以一人异于众人的概率=6/8=3/4，于是经过4/3个回合，游戏就结束。
2）4人参加，有2^4=16种可能：其中0001,0010,0100,1000,1110,1101,1011,0111（8种）满足“一人异于众人”的条件，所以一人异于众人的概率=8/16=1/2，于是经过2个回合，游戏就结束。
3）5人参加，有2^5=32种可能：其中00001,00010,00100,01000,10000,11110,11101,11011,10111,01111（10种）满足“一人异于众人”的条件。
如果孩子们出“白”的概率是0.1，0.3，0.5，0.7，0.9，那么
00001出现的概率=0.1*0.3*0.5*0.7*（1-0.9）=0.00105，
11110出现的概率=0.9*0.7*0.5*0.3*0.9=0.08505，同理，
00010出现的概率=0.1*0.3*0.5*0.3*0.9=0.00405，
11101出现的概率=0.9*0.7*0.5*0.7*0.1=0.02205，
00100出现的概率=0.1*0.3*0.5*0.7*0.9=0.00945，
11011出现的概率=0.9*0.7*0.5*0.3*0.1=0.00945，
01000出现的概率=0.1*0.7*0.5*0.7*0.9=0.02205，
10111出现的概率=0.9*0.3*0.5*0.3*0.1=0.00405，
10000出现的概率=0.9*0.3*0.5*0.7*0.9=0.08505，
01111出现的概率=0.1*0.7*0.5*0.3*0.1=0.00105，
上述10可能出现的概率=（0.00105+0.08505）×2+（0.00405+0.02205）×2+0.00945×2
=2×(0.0861+0.0261+0.00945)
=2×0.12165
=0.2433，
于是经过1/0.2433≈4.11回合，游戏就结束。
文中未给出S(1),S(2),……的定义，无法给出准确的解释。
可以吗？