Question

请问如何证明函数在某点是否可导？

Answer 1

是对于多元函数来说，要证明在某一点是可微的，需要求出函数对各个未知数的偏导数。由于知道，各个偏导函数在这个点是连续的，则证明原函数在该点是可微的。证明是连续的方法也是 求出 左右极限，然后看这个极限值是否等于原函数在该点的原函数值。

判断某点可导性应该从某点的左导数和右导数是否存在，如果存在是否左右导数相等来入手。 而判断函数是否连续是通过函数在某点的左右极限是否存在，如果存在是否相等来入手的。 某点可导说明此点左右导数均存在且相等==》某点左右极限存在且相等（因为导数定义是从极限定义扩展而来的，可导就必然说明左右极限也存在）==》函数在某点连续。 

但是某点不可导不能说明函数在此点间断。 某点不可导==》左右导数至少一个不存在，或者左右导数均存在但不相等。 如果左右导数至少一个不存在，那么不存在导数的一侧必然没有极限或者说极限为±无穷大，那么函数在此点的左右极限必不相等，在这种情况下函数是间断的。 但是如果左右导数都存在，但是不相等的情况下，左右极限必然也存在，而且左右极限也有可能相等，此时极限与导数的数值可以无关，这种情况下函数在这个不可导点是连续的。