Question

14.微分方程 y^n-2x=0 在 y|x=0=2 , y`(0)=0 的特解 y= __？

Answer 1

首先，对微分方程进行变形，得到：

y^n = 2x

接着，对上式两边同时取导，得：

n*y^(n-1)*y' = 2

由于已知 y`(0)=0，可将上式代入得：

n*y(0)^(n-1)*0 = 2

因为 y|x=0=2，所以可以得到 y(0) = 2，带入上式得：

n*2^(n-1)*0 = 2

这个时候需要分类讨论：

当 n = 1 时，原方程化为 y - 2x = 0，解得 y = 2x 是其特解；

当 n ≠ 1 时，将 y^n = 2x 两边同时取 ln，得到 nln(y) = ln(2x) + C，其中 C 为常数。移项后有 ln(y) = (ln(2) + C)/n，进一步解得 y = exp((ln(2)+C)/n)x。由于已知 y|x=0=2，代入可得：exp(C/n) = 2，即 C = nln(2)。带回原式可得 y = exp(ln(2)/n)x^n。

                                   

因此，根据不同情况可得特解分别为：

当 n = 1 时，y = 2x；

当 n ≠ 1 时，y = exp(ln(2)/n)x^n。

Answer 2

设 $y=f(x)$，则 $y'=f'(x)$，$y''=f''(x)$，以此类推。
将微分方程 $y^n-2x=0$ 对 $x$ 求导，得到：
$$ny^{n-1}\frac{dy}{dx}=2$$
因为 $y(0)=2$，所以 $f(0)=2$。
因为 $y'(0)=0$，所以 $f'(0)=0$。
将上面的两个条件代入上式，得到：
$$2n=0$$
因此 $n=0$，此时原方程变为 $-2x=0$，无解。
因此，该微分方程在给定的条件下无特解。