Question

4.求极限lim_(x0)(tanx-x)/(x^2(e^x-1

Answer 1

😳问题：lim(x->0) ( tanx -x) / [x^2. (e^x -1)]

这是一个求极限的问题， 可以有2种方法

1. 『方法一』： 等价无穷小

2. 『方法二』： 洛必达法则

以下是利用方法一的解法

等价无穷小， 这题要利用到

• tanx = x+(1/3)x^3 +o(x^3)

• e^x = 1+x +o(x)

分子：

• tanx =x+(1/3)x^3 +o(x^3)

• tanx -x = (1/3)x^3 +o(x^3)

得出结果 分子等价于 (1/3)x^3

分母：

• e^x -1= x +o(x)

• x^2. (e^x -1) =x^3 +o(x^3)

得出结果 分母等价于 x^3

带入以上结果

lim(x->0) ( tanx -x) / [x^2. (e^x -1)]

=lim(x->0) (1/3)x^3 / x^3

=1/3

😄: 结果： lim(x->0) ( tanx -x) / [x^2. (e^x -1)] =1/3

Answer 2

（tanx-x)/x^2(e^x-1) ~ (x+x^3/3-x)/x^2 *x = x^3/3 /x^3 =1/3