Question

矩阵A=B*C，A,C已知，求B。ABC都不是方阵，能求吗，怎么求？

Answer 1

如果矩阵 $A,C$ 的尺寸不符合矩阵乘法的定义，那么无法通过矩阵乘法求解矩阵 $B$。
但是，如果我们将 $A,B,C$ 中的向量视作列向量，那么我们可以使用广义逆矩阵（也称为伪逆矩阵）来求解 $B$。
设 $A=B*C$，则我们可以将等式两边同时左乘 $C^\dagger$，其中 $C^\dagger$ 表示矩阵 $C$ 的广义逆矩阵，有 $CC^\dagger=I$。则有：
C^\dagger A = C^\dagger B CC†A=C†BC
移项可得：
B=C^\dagger A (C^\dagger)^{-1}B=C†A(C†)−1
其中，$(C^\dagger)^{-1}$ 表示广义逆矩阵的逆矩阵，可以通过求广义逆矩阵的方法来求解。
需要注意的是，当矩阵 $C$ 不可逆时，广义逆矩阵并不唯一，因此 $B$ 的解也不唯一。此时，可以使用最小二乘法来求解最优解。