Question

一个关于复变函数的问题

若对1/(1+z)在一包含其奇点的闭合区域内积分，由柯西积分公式知，结果为2πi，但若把它作幂级数展开后再积分，由柯西古萨基本定理，z^n在区域内解析，结果为0。那么，这不是自相矛盾了吗？

Answer 1

奇点的存在限制了收敛域。所以奇点刚好在收敛圆周上。
比如 1/(1+z) = 1 - z + z^2 - z^3 + ...
右边的收敛圆是|z|<1，而奇点-1在这圆周上。
这样对右边的积分不能绕过奇点，因为将超出收敛圆范围。