Question

证明：当x>0时，xln(x+√1+x^2)> √1+x^2-1

证明：当x>0时，xln(x+√1+x^2)> √1+x^2-1

Answer 1

需证ln(x+√1+x^2)>(√1+x^2-1)/x

当x=0, 左边的极限=右边的极限 （右边可以用分子有理化证）

左边求导得：1/√1+x^2

右边求导得：(1/√1+x^2)-(√1+x^2)/(x^2)+1/(x^2)

左边求导-右边求导=(√1+x^2)/(x^2)-1/(x^2)=(√1+x^2-1)/(x^2)>0 (x>0)

左边〉右边 when x>0

Answer 2

证明：因为x>0,即证明ln(x+√1+x^2)-（ √1+x^2-1）/x>0
令y=ln(x+√1+x^2)-（ √1+x^2-1）/x
求导,整理可得y'=（ √1+x^2-1）/x^2>0(过程没有打，不知你求导学过没有)
所以，y递增
即y>y(0)=0(计算时 √1+x^2-1）/x=x/(√1+x^2+1,然后再代入x=0，不然无意义)
由y>0，即证

Answer 3

做的有点复杂了一楼，你直接把右边的移到左边再求左边的最小值，证明最小值大于零就行了