Question

向量积分配律的证明思路

Answer 1

三维向量外积（即矢积、叉积）可以用几何方法证明；也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。

下面把向量外积定义为：

a × b = |a|·|b|·Sin<a, b>.

分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1）外积的反对称性：

a × b = - b × a.

这由外积的定义是显然的。

2）内积（即数积、点积）的分配律：

a·(b + c) = a·b + a·c,

(a + b)·c = a·c + b·c.

这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos<a, b>，用投影的方法不难得到证明。

测度论：

测度论是研究一般集合上的测度和积分的理论。它是勒贝格测度和勒贝格积分理论的进一步抽象和发展，又称为抽象测度论或抽象积分论，是现代分析数学中重要工具之一。 测度理论是实变函数论的基础。

若尔当(Jordan，M.E.C.)于1892年在R中发展了佩亚诺可测集的概念。原来定义外测度时，要用多边形去覆盖点集，他规范为用有限个开区间去覆盖，其余不变。若尔当的改进使测度概念前进了一大步，蕴涵了勒贝格测度的萌芽，但仍有明显的缺点。

主要是它仍只具有有限可加性，从而导致有些简单的点集也不可测。例如，令A=[0，1]∩Q，则A的若尔当内测度为0，而外测度为1，因而A在若尔当意义下不可测。总之，若尔当测度只适合于黎曼积分的需要。波莱尔(Borel，(F.-É.-J.-)É.)于1898年，先由开集经过可列并与余的运算导致一类集，即所谓波莱尔集类。