Question

x趋于0时, sinx/ x的极限存在吗?

Answer 1

当x趋于0时，sinx/ x的极限存在，并且其极限值为1。

这个结论也被称为正弦函数的极限公式，是高等数学中非常重要的一个极限公式。要证明这个极限存在且等于1，可以使用夹逼定理或者泰勒级数展开来进行证明。

夹逼定理的证明方法如下：

由于在x的邻域内，我们有如下的不等式：

cosx ≤ sinx/x ≤ 1

当x趋近于0时，根据夹逼定理，我们有：

lim(x→0) cosx = 1

lim(x→0) 1 = 1

因此，根据夹逼定理，我们得到：

lim(x→0) sinx/ x = 1

另外，我们也可以使用泰勒级数展开来证明这个极限。对于任何实数x，都有：

sinx = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

因此，当x趋于0时，我们有：

lim(x→0) sinx/ x = lim(x→0) (x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...)/ x

= lim(x→0) (1 - x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + ...)

= 1

因此，sinx/ x的极限存在且等于1。

Answer 2

x趋近于0时,sinx分之一的极限如下
：
1、当
x→0时，sin(1/x)
的值在[-1,1]内波动，极限当然不存在
2、而
x*sin(1/x)
显然是趋于0的
扩展资料
在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：
一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；
二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。
如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则
。
洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等。