Question

15.设随机变量X在(0,2)上服从均匀分布,求:-|||-(1) Y=e^(2x) 的概率密度？

Answer 1

首先，我们需要确定随机变量 Y = e^(2X) 的取值范围。
由于 X 在 (0,2) 上服从均匀分布，所以 X 的概率密度函数为 f(x) = 1/(2-0) = 1/2，其中 0 < x < 2。
现在我们可以通过变量变换的方法计算 Y 的概率密度函数。
设 Y = e^(2X)，则 X = (1/2)ln(Y)。我们可以计算出 Y 对 X 的导数 dy/dx = 2e^(2x)。
根据概率密度函数的变量变换公式，有：
g(y) = f(x) * |dx/dy|
其中，g(y) 是 Y 的概率密度函数，f(x) 是 X 的概率密度函数，|dx/dy| 是变量变换的绝对值雅可比。
代入 X = (1/2)ln(Y)，dx/dy = 2e^(2x)，并考虑到 0 < x < 2，我们可以得到：
g(y) = f(x) * |dx/dy| = (1/2) * |(1/2)e^(2x)| = (1/4)e^(2x)
现在，我们需要将 x 表达成 y 的函数，即解 Y = e^(2X) 关于 X 的方程，得到 X = (1/2)ln(Y^(1/2)) = (1/4)ln(Y)。
由于 0 < x < 2，那么对应的 Y 的取值范围为 e^(20) = 1 到 e^(22) = e^4。
因此，当 1 ≤ y ≤ e^4 时，g(y) = (1/4)ln(y) 是 Y = e^(2X) 的概率密度函数；当 y < 1 或 y > e^4 时，g(y) = 0。
综上所述，Y = e^(2X) 的概率密度函数在 1 ≤ y ≤ e^4 范围内为 g(y) = (1/4)ln(y)。