Question

求e^ xsin^2x的不定积分！

Answer 1

e^xsin^2x的不定积分是e^x(sin2x-2cos2x)/5+C。

∫e^xsin2xdx

=e^xsin2x-2∫e^xcos2xdx

=e^xsin2x-2e^xcos2x-4∫e^xsin2xdx

=e^x(sin2x-2cos2x)/5+C

证明

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。