二元函数连续、偏导数存在、可微之间有什么关系?

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飘飘记
高粉答主

2023-03-31 · 人生,就是一趟没有回程的旅途
飘飘记
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二元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系:

书上定义:

可微一定可导,可导一定连续。可导不一定可微,连续不一定可导。

1、若二元函数f在其定义域内某点可微,则二元函数f在该点偏导数存在,反过来则不一定成立。

2、若二元函数函数f在其定义域内的某点可微,则二元函数f在该点连续,反过来则不一定成立。

3、二元函数f在其定义域内某点是否连续与偏导数是否存在无关。

4、可微的充要条件:函数的偏导数在某点的某邻域内存在且连续,则二元函数f在该点可微。



判断可导、可微、连续的注意事项:

1、在一元的情况下,可导=可微->连续,可导一定连续,反之不一定。

2、二元就不满足以上的结论,在二元的情况下:

(1)偏导数存在且连续,函数可微,函数连续。

(2)偏导数不存在,函数不可微,函数不一定连续。

(3)函数可微,偏导数存在,函数连续。

(4)函数不可微,偏导数不一定存在,函数不一定连续。

(5)函数连续,偏导数不一定存在,函数不一定可微。

(6)函数不连续,偏导数不一定存在,函数不可微。

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