Question

二元函数连续、偏导数存在、可微之间有什么关系？

Answer 1

二元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系:

书上定义：

可微一定可导，可导一定连续。可导不一定可微，连续不一定可导。

1、若二元函数f在其定义域内某点可微，则二元函数f在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。

2、若二元函数函数f在其定义域内的某点可微,则二元函数f在该点连续，反过来则不一定成立。

3、二元函数f在其定义域内某点是否连续与偏导数是否存在无关。

4、可微的充要条件：函数的偏导数在某点的某邻域内存在且连续，则二元函数f在该点可微。

判断可导、可微、连续的注意事项：

1、在一元的情况下，可导=可微->连续，可导一定连续，反之不一定。

2、二元就不满足以上的结论，在二元的情况下：

（1）偏导数存在且连续，函数可微，函数连续。

（2）偏导数不存在，函数不可微，函数不一定连续。

（3）函数可微，偏导数存在，函数连续。

（4）函数不可微，偏导数不一定存在，函数不一定连续。

（5）函数连续，偏导数不一定存在,函数不一定可微。

（6）函数不连续，偏导数不一定存在,函数不可微。