Question

已知常数a>0,bc≠0,又有lim[x^a㏑(1+b/x)-x]=c,求a,b,c。泰勒公式作答？

Answer 1

根据题目给出的条件，我们可以使用泰勒公式来解决这个问题。
首先，我们对函数f(x) = x^a㏑(1+b/x)进行泰勒展开。由于a>0，我们可以将f(x)展开为f(x) = f(c) + f'(c)(x-c) + f''(c)(x-c)^2 + …
对于f(x) = x^a㏑(1+b/x)，我们可以取c=1来进行展开。此时，f(c) = f(1) = 1^a㏑(1+b/1) = a㏑(1+b)。
然后，我们计算f'(x)和f''(x)。首先，f'(x) = d/dx(x^a㏑(1+b/x))。使用链式法则，可以得到f'(x) = ax^(a-1)㏑(1+b/x) - bx^(a-2) / (x*(1+b/x))。
然后，我们计算f''(x) = d^2/dx^2(x^a㏑(1+b/x))。使用链式法则和乘法法则，可以得到f''(x) = a(a-1)x^(a-2)㏑(1+b/x) + 2abx^(a-3) / (x^2(1+b/x)) - b(a-2)x^(a-3) / (x*(1+b/x))^2。
接下来，我们将f(x)的泰勒展开形式代入lim[x^a㏑(1+b/x)-x]=c的等式中。由于lim[x^a㏑(1+b/x)-x]=lim[(f(c) + f'(c)(x-c) + f''(c)(x-c)^2 + …) - x]，我们只需要考虑展开式中的一次项。
我们有：
lim[(f(c) + f'(c)(x-c) + f''(c)(x-c)^2 + …) - x] = c
将展开式中的一次项代入上式，我们得到：
f(c) + f'(c)(x-c) - x = c
将f(c)和f'(c)的表达式代入上式，我们得到：
a㏑(1+b) + (a(1-b) - 1)(x-1) - x = c
整理上式，我们得到：
a㏑(1+b) + a(1-b)x - a*(1-b) - x - 1 = c
由于等式成立对于所有的x，我们可以将两边的系数进行对应项相等，得到以下方程组：
a(1-b) = 0 a㏑(1+b) - a(1-b) - 1 = c
由于a>0，所以a*(1-b) = 0只有一种情况成立，即b = 1。
将b = 1代入第二个方程，我们有：
a㏑(1+1) - a*(1-1) - 1 = c
a㏑2 - 1 = c
综上所述，a>0，b=1，c = a㏑2 - 1

Answer 2