Question

已知数列 an 满足a1=1 an+1=an/（2^n*an+1）

1·求通项公式an
2·设sn=n
∑ （2^k-1）/（k^2+k）*ak 对任意正整数n恒有Sn＜x^2-x+1
k=1
求x的取值范围

Answer 1

这百度里编辑公式是很不方便啊，你的括号没有括到位，有很多歧义，
我只有推算后，才知道原题是何意。解答如下：

已知：数列an满足a1=1，a(n+1)=an/(2^n×an+1)
1.求通项公式an；
2.设Sn=∑(k=1→n)|[((2^k-1)/(k^2+k))×ak]，
对任意正整数n恒有Sn＜x^2-x+1，k=1；求x的取值范围。
解：1.a(n+1)=an/(2^n×an+1)
1/a(n+1)=(2^n×an+1)/an=2^n+(1/an)
(1/a(n+1))-(1/an)=2^n
则1/a1=1/1=2^0
(1/a2)-(1/a1)=2^1
(1/a3)-(1/a2)=2^2
(1/a4)-(1/a3)=2^3
···
(1/a(n-1))-(1/a(n-2))=2^(n-2)
(1/an)-(1/a(n-1))=2^(n-1)
将上述n个等式，左右相加得：1/an=2^0+2^1+2^3+···+2^(n-1)=2^n-1；
即an=1/(2^n-1)

2.Sn=∑(k=1→n)|[((2^k-1)/(k^2+k))×ak]
=∑(k=1→n)|[((2^k-1)/(k^2+k))×(1/(2^k-1))]
=∑(k=1→n)|[1/(k^2+k)]
=∑(k=1→n)|[1/(k(k+1))]
=∑(k=1→n)|[(1/k)-(1/(k+1))]
展开，裂项相消得：Sn=n/(n+1)，则x^2-x+1>1-(1/(n+1))，n∈Z+；
变形得(x-(1/2))^2>(1/4)-(1/(n+1))；

要该不等式恒成立，就是说：
只要(x-(1/2))^2比(1/4)-(1/(n+1))的最大值还要大就能恒成立了。

而(1/4)-(1/(n+1))是随正整数n的增大而增大的，
则当n→+∞时，(1/4)-(1/(n+1))max=1/4；
即求(x-(1/2))^2>1/4，解得x<0或x>1。