Question

1/n+1/m+1/mn=1/20,求m-n最大值

Answer 1

如果 m 和 n 为正实数，那么，当 n 大于 20 且无限接近 20 时，1/m+1/(mn) 趋近 0，m 趋向正无穷。则：m-n 没有最大值。

这其实是一个埃及分数问题。

m 和 n 为正整数的条件下，m-n 有最大值。

同上述正实数的分析，取 n = 21，代入原方程，1/21 + 1/m + 1/(21m) = 1/20；

解得，m = 440，m-n = 440-21 = 419；

因此，m-n 的最大值是 419。

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补充说明一下

通过编程枚举的方式，计算m和n，一共有12组：

(21,440)，(22,230)，(23,160)，(24,125)，(25,104)，(26, 90)，(27, 80)，(30, 62)，(32, 55)，(34, 50)，(35, 48)，(40, 41)；

可以看到，最大值 m-n = 440-21 = 419；最小值 m-n = 41-40 = 1。

Answer 2

解：1/n+1/m+1/mn=1/20
(m+n+1)/mn=1/20
mn=20(m+n+1)
令t=m-n，则m=n+t
(n+t)n=20(n+t+n+1)
n^2+(t-40)n-20t-20=0
判别式△=(t-40)^2+4*(20t+20)>=0
t^2+1680>=0恒成立
t=m-n的最大值不存在

Answer 3

1／n＋1／m＋1／mn＝1／20，
（m＋n＋1）／mn＝1／20，
m＋n＋1＝20mm，
m一n的最大值＝二大爷！