Question

如何理解r(A'A)= r(A)？

Answer 1

用A'表示A的转置，要证明r(A'A)=r(A)，只需证明方程组AX=0和A'AX=0同解。如果AX=0，两边分别左乘A'，得A'AX=0，这说明方程组AX=0的解都是方程组A'AX=0的解；另一方面，如果A'AX=0，两边分别左乘X'，得X'A'AX=0，即(AX)'AX=0，令Y=AX，则Y'Y=0，注意Y=AX为n维列向量，因此可设Y=(y1,y2,,,yn)'，则Y'Y=y1^2+...+yn^2=0，因此y1=...yn=0，即Y=AX=0，这说明方程组A'AX=0的解都是方程组AX=0的解，综上我们证明了AX=0和A'AX=0同解，因此r(A'A)=r(A)。