Question

F(x)是连续函数f(x)的一个原函数。求证F(x)是偶函数的充要条件是f(x)是奇函数

在线等

Answer 1

(1)必要性：F(X)是偶函数。
F(-X)=F(X),两边求导：
-f(-x)=f(x),f(x)是奇函数。
(2)充分性：f(x)是奇函数
f(-x)=-f(x),
-f(-x)=f(x)
∫-f(-x)dx=∫f(x)dx

∫f(-x)d(-x)=∫f(x)dx【左边吧-x看成整体，积分】
F(-X)=F(X)
得证。