Question

不用导数的话怎么证明(f)=x-sinx单调递增？

Answer 1

如果您不使用导数，可以考虑使用中值定理来证明函数$f(x) = x - \sin(x)$在某个区间上是单调递增的。
中值定理表达式为：
\[f(b) - f(a) = f'(c) \cdot (b - a)\]
其中，$a < c < b$。对于函数$f(x) = x - \sin(x)$，我们有$f'(x) = 1 - \cos(x)$。
要证明$f(x)$在某个区间上是单调递增的，可以考虑$f'(x)$在该区间上是否大于等于零，因为$f'(x)$大于等于零意味着函数$f(x)$是单调递增的。
对于$f'(x) = 1 - \cos(x)$，$\cos(x)$的取值范围是$-1 \leq \cos(x) \leq 1$。因此，$1 - \cos(x)$的取值范围是$0 \leq 1 - \cos(x) \leq 2$，即$f'(x) \geq 0$。这意味着$f(x) = x - \sin(x)$在该区间上是单调递增的。
请注意，虽然这个方法不涉及导数的计算，但是基于导数的性质（如导数大于零意味着函数单调递增），因此仍然是间接地使用了导数的概念。

Answer 2

用定义证明这个函数单调递增

涉及三角函数的和差化积和有关三角函数中的结论。

供参考，请笑纳。