Question

如何判断函数最大值和最小值？

Answer 1

要判断一个函数的极大值（最大值）和极小值（最小值），可以通过以下步骤进行：

1. 求导：首先，对给定的函数求导。在单变量情况下，可以使用微积分中的导数概念计算函数的导数。

2. 导数为零的点：找出导数等于零或不存在的点，这些点可能是函数的极值点。也就是说，找到使得导数函数为0或者不连续的点。

3. 导数的符号变化：确定导数在导数为零或不存在的点附近的符号变化情况。如果导数从正数变成负数，则存在极大值；如果导数从负数变成正数，则存在极小值。

4. 极值判断：根据导数符号的变化来确定极值类型。当且仅当导数由正变负时出现极大值，由负变正时出现极小值。

5. 验证：验证所找到的点是否确实是函数的极值点。可以通过二阶导数测试或取样几个值代入函数进行验证。若二阶导数测试显示该点处函数的二阶导数大于0（凸性上弯/上凸），则此点为函数极小值；若二阶导数测试显示该点处函数的二阶导数小于0（凸性下弯/下凸），则此点为函数极大值。

需要注意的是，这种方法只适用于解析函数（即能在每个定义域上求导）的情况。对于非解析或复杂的函数，可能需要使用其他数值方法或图形分析来判断极值。