Question

一道关于导数的题

若函数f(x)=x^3-3a^2x+1的图像与直线y=3只有一个公共点,则实数a的取值范围是？

Answer 1

f'(x)=3*x^2-3*a^2
所以这个函数有两个极值点分别是x=-a和x=a，对应的函数值为2*a^3+1和-2*a^3+1，所以只要有3>2*|a|^3+1或者3<-2*|a|^3+1即可保证只有一个公共点（通过函数的图像可以看出来）

之所以要去绝对值是因为不能确定a的正负

Answer 2

这是关于导数的？

Answer 3

连立方程组得，x^3-3a^2x+1=3化简得x^3-3a^2x-2=0
设f(x)=x^3-3a^2x-2
f'(x)=3x^2-3a^2
令f'(x)=0，两个极值点分别是x=-a和x=a
所以f(x)在x<-a或x>a时，f(x)单调递增，当-a<x<a时f(x)单调递减，由题意知，x^3-3a^2x-2=0只有一解
画图可知：只有当f(-a)<0或f(a)>0时，f(x)才有一解。
得a<-1
给我加点分好吗？