微积分的几个基本定理
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1.函数定义域的求法:
y=1/x , D: x≠0 , (-∞,0) U (0,+∞)
y=x , D: x≥0, [0, +∞ ]
y=㏒ x , D: x>0, (0, +∞)
y=tanx, D: x≠kπ+π/2 , k∈Z
y=cotx, D:x≠kπ , k∈Z
y=arcsin(或arccosx) , D: |x|≤1, [-1, 1]
2.常见的偶函数:|x| , cosx , x (n为正整数), e , e ……
常见的奇函数:sinx , tanx , 1/x , x , arcsinx , arctanx ,……
3.常见的函数周期:sinx , cosx , 其周期T=2π;
tanx , cotx , |sinx| , |cosx| , 其周期 T=π.
4.三个恒等式:a =x ; arcsinx + arccosx = π/2 ; arctanx + arccotx = π/2
5.常用的等价形式:当x→0时, sinx ~ x , arcsinx ~ x , tanx ~ x , arctan x ~ x ,
㏑(1+ x) ~ x , e –1 ~ x , 1-cosx ~ (1/2)x², (1+x) -1 ~ (1/n)x
6.极限:Lim——— =1 , Lim( 1+x ) = e
当x→+∞时,以下各函数趋势于+∞的速度为:
㏑x , xⁿ (n>0) , a (a>1) , x
由慢到快
当n→∞时
㏑x , xⁿ (n>0) , a (a>1) , n! , x
由慢到快
7.积分中值定理:若f(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一个点ξ使 ∫ f(x)dx=f(ξ)(b-a)
8.微分中值定理:若函数f(x)满足条件:函数f(x)在x 的某邻域内有定义,并且在此邻域内恒有
f(x)≤f (x )或f(x)≥f (x ),f(x)在 x 处可导,则有f′(x )=0
9.洛尔定理:设函数f(x)满足条件:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;f(a)=f(b),则
在(a,b)内至少存在一个ξ,使f′(ξ)=0
10.拉格朗日中值定理:设函数f(x)满足条件:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一个ξ,使———— = f′(ξ)
y=1/x , D: x≠0 , (-∞,0) U (0,+∞)
y=x , D: x≥0, [0, +∞ ]
y=㏒ x , D: x>0, (0, +∞)
y=tanx, D: x≠kπ+π/2 , k∈Z
y=cotx, D:x≠kπ , k∈Z
y=arcsin(或arccosx) , D: |x|≤1, [-1, 1]
2.常见的偶函数:|x| , cosx , x (n为正整数), e , e ……
常见的奇函数:sinx , tanx , 1/x , x , arcsinx , arctanx ,……
3.常见的函数周期:sinx , cosx , 其周期T=2π;
tanx , cotx , |sinx| , |cosx| , 其周期 T=π.
4.三个恒等式:a =x ; arcsinx + arccosx = π/2 ; arctanx + arccotx = π/2
5.常用的等价形式:当x→0时, sinx ~ x , arcsinx ~ x , tanx ~ x , arctan x ~ x ,
㏑(1+ x) ~ x , e –1 ~ x , 1-cosx ~ (1/2)x², (1+x) -1 ~ (1/n)x
6.极限:Lim——— =1 , Lim( 1+x ) = e
当x→+∞时,以下各函数趋势于+∞的速度为:
㏑x , xⁿ (n>0) , a (a>1) , x
由慢到快
当n→∞时
㏑x , xⁿ (n>0) , a (a>1) , n! , x
由慢到快
7.积分中值定理:若f(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一个点ξ使 ∫ f(x)dx=f(ξ)(b-a)
8.微分中值定理:若函数f(x)满足条件:函数f(x)在x 的某邻域内有定义,并且在此邻域内恒有
f(x)≤f (x )或f(x)≥f (x ),f(x)在 x 处可导,则有f′(x )=0
9.洛尔定理:设函数f(x)满足条件:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;f(a)=f(b),则
在(a,b)内至少存在一个ξ,使f′(ξ)=0
10.拉格朗日中值定理:设函数f(x)满足条件:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一个ξ,使———— = f′(ξ)
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